数学二历年考研试题
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设
y?(1?sinx)x，则dyx?? = .
（2）曲线
y?(1?x)xxdx232的斜渐近线方程为 . （3）
?(2?x01)1?x2? .
（4）微分方程xy??2y（5）当x?xlnx满足y(1)??1的解为 . 9?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= .
（6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵
A?(?1,?2,?3)，B?(?1??2??3,?1?2?2?4?3,?1?3?2?9?3)， A?1，那么B? .
如果
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数
f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ ]
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M(A)
F(x)是偶函数?f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ ]
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是
y?ln(1?t)?(A) (C)
11ln2?3. (B) ?ln2?3. 88?8ln2?3. (D) 8ln2?3. [ ]
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数学二历年考研试题 （10）设区域
D?{(x,y)x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为
D上的正值连续函数，a,b为常数，则
??Daf(x)?bf(y)f(x)?(A)
f(y)d??
ab?. (B)
ab?2. (C)
(a?b)?. (D)
x?yx?ya?b?2 . [ ]
具有一阶导数，
（11）设函数u(x,y)则必有
(A)
???(x?y)??(x?y)???(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，
?2u?2u?. ?x2?y2?2u?2u??2?x2?y. （B）
(C)
?2u?2u?2?x?y?y1exx?1. (D)
?2u?2u?2?x?y?x. [ ]
（12）设函数
f(x)?(A)
,则 ?1 x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D)
x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. [ ]
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1关的充分必要条件是
(A)
??2)线性无
?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]
?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，
（14）设A为n（n则 [ ]
(C)
交换
A*的第1列与第2列得B*. (B) 交换A*的第1行与第2行得B*.
*(C) 交换A的第1列与第2列得?
B*. (D) 交换A*的第1行与第2行得?B*.
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数学二历年考研试题
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
?（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.
x?f(x?t)dt（16）（本题满分11分）
如图，C1和C2分别是
y?1过点(0,1)的曲线C3(1?ex)和y?ex的图象，
2是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和
ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与ly所围图形的面积为
S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y).
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
（18）（本题满分12分） 用
变
量
代
换
?30(x2?x)f???(x)dx.
x?cot(0s?t??)x?0化简微分方程
(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足y
?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在?
（20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分
，dz?2xd?x2ydy并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. ?(0,1), 使得f(?)?1??；
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
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数学二历年考研试题 （21）（本题满分9分）
计算二重积分
（22）（本题满分9分）
确定常数
a,使向量组
??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T线性表示，但向量组
可由向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T?1,?2,?3不能由向量组
?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常数），且AB=O, 求????36k??线性方程组Ax=0的通解.
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数学二历年考研试题
2004年考硕数学（二）真题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设
f(x)?lim(n?1)xn??nx2?1, 则
f(x)的间断点为x? .
（2）设函数
y(x)由参数方程
3??x?t?3t?1 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围为____.. ?3??y?t?3t?1（3）
?1??dxxx?12?_____..
?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则33（5）微分方程(y?x)dx?2xdy?0满足yx?1?6的特解为_______. 5?210??????（6）设矩阵A?120, 矩阵B满足ABA?2BA?E, 其中A为A的伴随矩阵, E是单位
???001???矩阵, 则
B?______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）
（7）把x?0?时的无穷小量???costdt, ???0x2x20tantdt, ???x0sint3dt排列起来, 使排
在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
（A）?,?,?. （B）?,?,?.
,?. ?（C）?,?,?. （D）?,?（8）设
?
f(x)?x(1?x), 则
（A）x（B）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. ?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点.
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