数学二历年考研试题 (16)（本题满分10分）
?dxx?x(t)??2te?x?0??设函数y?y(x)由参数方程?确定，其中x(t)是初值问题?dt的解.求t2y??ln(1?u)du?xt?0?0?0???2y. 2?x(17)（本题满分9分）求积分
?1xarcsinx1?x20dx.
(18)（本题满分11分）
求二重积分
(19)（本题满分11分）
设
??max(xy,1)dxdy,其中D?{(x,y)0?x?2,0?y?2}
Df(x)是区间?0,???上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)?1.对任意的t??0,???，直线
x?0,x?t，曲线y?f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积
在数值上等于其体积的2倍，求函数(20)（本题满分11分）
(1) 证明积分中值定理：若函数
f(x)的表达式.
f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点??[a,b]，使得
3?ba (2)若函数?(x)具有二阶导数，且满足?(2)??(1),?(2)??(x)dx，证明f(x)dx?f(?)(b?a)?2至少存在一点??(1,3),使得???(?)?0 （21）（本题满分11分）
求函数u
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?x2?y2?z2在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大值与最小值.
数学二历年考研试题 （22）（本题满分12分）
设矩阵
?2a1??2?a2a??，现矩阵A满足方程AX?B，其中X??x,?,x?TA??1n，
????1??a22a??n?nB??1,0,?,0?，
（1）求证
A??n?1?an；
（2）a为何值，方程组有唯一解，并求x1； （3）a为何值，方程组有无穷多解，并求通解.
（23）（本题满分10分）
设
A为3阶矩阵，?1,?2为A的分别属于特征值?1,1特征向量，向量?3满足A?3??2??3，
（1）证明?1,?2,?3线性无关； （2）令P???1,?2,?3?，求P?1AP.
22
数学二历年考研试题
2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当x?0?时，与x等价的无穷小量是
x （A）1?e （B）ln1?x1?x （C）1?x?1 （D）1?cosx [ ]
（2）函数
(ex?e)tanxf(x)?在???,??上的第一类间断点是x? [ ]
1??x?ex?e??? （A）0 （B）1 （C）?（3）如图，连续函数
?2 （D）
? 21的上、下半圆周，在区间
y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为
x??2,0?,?0,2?的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设F(x)??0f(t)dt，则下列结论正确的是：
（A）F(3)35??F(?2) (B) F(3)?F(2)
4435（C）F(3)?F(2) （D）F(3)??F(?2) [ ]
44f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是：
（4）设函数
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0 （B）若lim存在，则f(0)?0 .
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) （C）若lim存在，则f?(0)?0 （D）若lim存在，则f?(0)?0.
x?0x?0xx （A）若lim [ ]
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数学二历年考研试题 （5）曲线
y?1?ln?1?ex?的渐近线的条数为 x（A）0. （B）1. （C）2. （D）3. [ ] （6）设函数
f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0，令un?f(n)，则下列结论正确的是： ?u2 ，则?un?必收敛. (B) 若u1?u2 ，则?un?必发散
(A) 若u1(C) 若u1?u2 ，则?un?必收敛. (D) 若u1?u2 ，则?un?必发散. [ ]
（7）二元函数f(x,y)在点?0,0?处可微的一个充要条件是[ ]
（A）
(x,ylim)??0,0??f(x,y)?f(0,0)??0.
（B）limf(x,0)?f(0,0)x?0x?0,且limf(0,y)?f(0,0)y?0y?0.
（C）
f(x,y)?f(0,0)(x,ylim)??0,0?x2?y2?0.
（D）lim?fx?(x,0)?x?0??fx(0,0)???0,且lim?y?0?fy?(0,y)?fy?(0,0)???0.
(x,y)?（8）设函数
f连续，则二次积分?1?dxf(x,y)dy等于
2?sinx?（A）?1??arcsinyx,y)dx1?0dy?f( （B）?0dy???arcsinyf(x,y)dx
?（C）
?1?arcsinyx,y)dx1? （D）?0dy??arcsiny0dy??f(?f(x,y)dx
22（9）设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是
线性相关，则
(A) ?1??2,?2??3,?3??1
(B) ?1??2,?2??3,?3??1
(C)
?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D)
?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. ?（10）设矩阵A??2?1?1???12?1??100??,B???010??，则A与B
???1?12????000??(A) 合同且相似 （B）合同，但不相似.
[ ]
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数学二历年考研试题
(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （11）
limarctanx?sinx? __________. 3x?0x的点处的法线斜率为_________.
?x?cost?cos2t?（12）曲线?上对应于t?4?y?1?sint（13）设函数
y?1(n)，则y(0)?________.
2x?3y???4y??3y?2e2x的通解为y?________.
（14） 二阶常系数非齐次微分方程
（15） 设
?yx??z?zf(u,v)是二元可微函数，z?f?,?，则x?y? __________.
?x?y?xy??0?0（16）设矩阵A???0??0100??010?3，则A的秩为 .
001??000????0,???4?三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设
f(x)是区间上单调、可导的函数，且满足
?
f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt，其中f?1是fsint?cost的反函数，求
f(x).
（18）（本题满分11分） 设D是位于曲线
y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域. （Ⅰ）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a)；（Ⅱ）当a为何值时，V(a)最小？并求此最小值.
（19）（本题满分10分）求微分方程（20）（本题满分11分）已知函数
y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解.
f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xey?1?1所
dz确定，设z?f?lny?sinx?，求
dx
d2zx?0,dx2x?0.
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