C(T2,V3)A(T1,V1)D(T2,V1)(1):?S??SAC??SCB V
V2pdVdT??T1?V3TT ?ClnT2?RlnV2pT1V3?T2Cp
?CplnT2VT?Rln[2(1)]T1V1T2
(2) ?S??SAD??SDB
?
?T2T1?CVV2dTpdV??V1TT
T2V2ln?RlnTV11CV(3) ?S??SAE??V3V1pdV TV3V2T21??1?Rln[()] =RlnV1V1T1
11．一均匀杆的两端分别与温度为T1和T2的大热源接触并达到稳定态，今取去与杆接触的热源，经过一段时间后杆趋于平衡态，设杆的质量为m,定压比热容Cp为常数，求这一过程熵的变化是多少？
标准答案：
取一小段dx，则因m=?V??lS(S是杆的截面积)，dm=?Sdx，dx小段杆的熵变为
统计力学试题 ( 第页 共4页 )
16
dS??T1?T22TxdmCpdTT??Sdx?T1?T22TXCpdTT,
整根杆的熵变为
?S??dS??0lT1?T220Txl?CpdTT?Sdx
=mCpln
mCpT1?T2?mCp?(T2lnT2?T1lnT1) 2T2?T112． 假设一容器内盛有理想气体,容器内有一活门把它分成两部分，每部分的体积分别为V1和V2；内含理想气体的物质的量分别为V1和V2，两边温度相等。若V1?V2，则活门开启后，将出现理想气体的扩散。求理想气体扩散前后熵的变化。
标准答案：
活门开启，气体扩散并最后达到平衡态后的总熵是 S?(V1?V2)Cp?dT`?(V1?V2)Rln??(V1?V2)S0。 T扩散过程前后的熵的变化是 S?(S1?S2)?R?v1ln??v1vv?v??v2ln2?(v1?v2)ln12?. V1V2V1?V2?利用不等式
(V1v1V2v2V?V2v1?v2)()?(1), v1v2v1?v2可得
S?(S1?S2)?0
以上说明扩散过程是个绝热的不可逆过程，满足熵增加原理。
13．试求理想气体的体胀系数α，压强β系数卢和等温压缩系数κT .
标准答案：
已知理想气体的物态方程由此易得：
统计力学试题 ( 第页 共4页 )
17
kT??1?V1nRT1()T?(?)(?2)?. V?TVpp
14．证明任何一种具有两个独立参量T，p的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT，根据下述积分求得：
lnV??(?dT??Tdp)
如果??11,?T?，试求物态方程． Tp
标准答案：
以T，p为自变量，物质的物态方程为V=V（T，P）， 其全微分为
?V?V)pdT?()Td?. ?T??dV1?V1?V?()pdT?()Td? 全式除以V，有VV?TV?? dV?(根据体胀系数a和等温压缩系统kT定义，可将上式改为：
dV?adT?kTdp V上式是以T，P为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分有： lnV?(adT?kTdp). 若a??1111，kT?，可表为lnV??(dT?dp). TTpp从（T0,p0）积分到（T,p0），再积分到（T，P），相应地体积由V0最终变到V，有 lnPVp0V0VTp?ln?ln,即??C(常量)，或PV?CT. V0T0p0TT0
15． 在0℃和l pn下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为， α=4.85×10-5K-1和 κT =7.8×10-7pn-1．α和κT可近似看作常量．今使铜块加热至10℃．问：
(a) 压强要增加多少pn才能使铜块的体积维持不变? (b) 若压强增加100pn，铜块的体积改变多少?
标准答案：
统计力学试题 ( 第页 共4页 )
18
(a)： 如系统的体积不变，dp与dT的关系为dp?akdT。 T将上式积分可得：P2?p1?ak(T2?T1). T将所给数据代入可得：P?4.85?10?52?p17.8?10?7?10pn?622pn (b)：由
?VV?a(T2?T1)?kT(p2?p1). 1将所给数据代入可得：?VV?4.07?10?4. 1
16．求证：(i) (?S?p) ； (ii) (?SH?0?V)U?0
标准答案：焓的全微分为dH?TdS?VdP
令dH=0，得???S??????V?0 ??P?HT内能的全微分为dU?TdS?PdV 令dU=0，得???S?P??V????0 UT
17．已知(?U?V)0,求证(?UT??p)T?0 ．
标准答案：对复合函数U?T,P??U?T,V?T,P??
求偏导数，有???U???P??????U???V?T??V???T??P?? T如果???U???V???U??=O，即有??P??=0 T?T 统计力学试题 ( 第页 共4页 )
19
式（2）也可以用雅可比行列式证明： ???U???U,T? ?=
??P?T??P,T???U,T???V,T? ??P,T???P,T? =
=???U???V???? ??V?T??P?T
18．试证明一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减．
标准答案：热力学偏导数???S???T? 描述等压过程中熵随体积的变化率，用???描述等压
??V?P??V?P下温度随体积的变化率。为求出这两个偏导数的关系，对复合函数
S?S?P,V??S?P,T?P,V?? （1）
求偏导数，有?CP??T???S???S???T?????????? （2） ??V?P??T?P??V?PT??V?P??S???T??的正负取决于 ??的正负 ?V?V??P??P因为CP＞0，T＞0，所以?式（2）也可以用雅可比行列式证明： ???S???S,P? ?=
??V?P??V,P???S,P???T,P? ??T,P???V,P? =
=?
19．求证：
??S???T???? ??T?P??V?P??v?????????T????
??n?T,V??T?V,n 统计力学试题 ( 第页 共4页 )
20