(2)方法一
将（1）式中的变量v变成?；
∵??1211mv2；则v?()2?2 （5） 2m1?1?2?12dv????d? （6）
?2m?将（5）、（6）代入（1）得：
w(?)d??4???m?32?2?kT??e??kT?1232122(m)?d? ?(???)2??2??2 化简（7）式为：
3w(?)d??2???1?2?k?T?12??kT??e?d?， ??????w(?)d??2?(132?32?kT0k?T)?0?ed?
令：x??kT，d??kTdx，??kTx
则：??2?(135k?T)2??kT?2??30x2e?xdx
?2?kT5?1?()?2kT??32?12? 22 ?32kT （9） ??w(?)d??2?(13??2??22?52?kT0k?T)?0?ed?
?2?(1?52xk?T)32??kT?72?0xe?dx
2?2?2kT2????7??2???2k2T2?)?52?32?12??15124k2T2 （10）
将（9）、（10）、代入（8），得：
(???)2?154k2T2?94kT2?3222kT。证明了第二次成立，证毕。 方法二
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7） 8）
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（（
由(???)2??2??2，??12111mv?mv2，?2?m2v4?m2v4 224432111??m???mv2?mv2?m?v2w(v)dv?2?m??0222?2?kT?2??0ve324?m2v2kTdv?m2v2kT3kT 2111?m???m2v4?m2v4?m2?v4w(v)dv??m2??04442?kT?????0ve6?dv
利用I(n)?????3??5215I(n?2)，则I(6)??I(4)??(?)????72 ??????8163?2111?m???m2v4?m2v4?m2?v4w(v)dv??m2??04442?kT??2??0v6e?m2v2kTdv
2152kT7215222?m???m??()?kT ?4m?2?kT?163所以
(???)2??2??2?1522922322kT?kT?kT 4423总结求能量平均值的方法有
?1?212??kT（1）利用能量概率分布w(?)d??2??d? ??e?k?T?????0?351323132?32?kT2?x2???2?()?kTxedx?kT ?w(?)d??2?()??ed??002k?Tk?T?m32?2kTv22（2）利用速率概率分布w(v)dv?4?()evdv
2?kT111?m???mv2?mv2?m?v2w(v)dv?2?m??22202?kT???1m32??0v4e?m2v2kTdv?3kT 2?p2132)e2kTmp2dp （3）利用动量概率分布w(p)dp?4?(2?kTm
?p2?312121?2?13242kTm?kT ??p?p?pw(p)dp?()epdp??0022m2m2mm2?kTm1
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36．计算温度为T时，在体积V内光子气体的平均总光子数，并据此估算 1，温度为1000K的平衡辐射总光子的数密度； 2，温度为3K的宇宙背景辐射中的光子的数密度。
答案：（习题8-7）光子属于极端相对论粒子，由习题6-4的结果，光子在体积V内，在?到??d?的能量范围内的量子态数为
D(?)d??8?V2(ch)3?d?， 光子在体积V内，在?到??d?的频率范围内的量子态数为
D(?)d??V?2c3?2d? 温度为T时平均光子数为
N(?,T)d??D(?)e??kT?1d?
??总光子数为N(T)?V?2?2c3??，引入变量x???kT，上式化成
0e??kT?1d??(T)?VkT3x2Nk3?2c3(?)?xdx?2.4042330e?1?c?VT3，
或
k3n(T)?2.404?2c3?3T3
在1000k下，有
n?2?1016m?3
在3k下，有
n?5.5?108m?3
37．试根据普朗克公式求平衡辐射内密度按波长的分布：
u(?,T)d??8?hc1?5ehc?kT?1d?
并据此证明，使辐射内能密度取极大值的波长?m满足方程：x?hc/?mkT
5e?x?x?5
这个方程的数值解为x=4.9651。因此，
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?mT?hc
4.9651k?m随温度增加向短波方向移动。
答案：（习题
8-8）利用
??2?c?，有d??2?c?2d?，代入
1??3u(?,T)d??23??kTd?，有
?ce?1u(?,T)d??8?hc1ehc?kT?5?1d?
引入变量x?hc?kT，使u(?,T)取极大的波长?m由下式确定
dx55x4(ex?1)?x5ex?x令(x)?0??0?5?5e?x x2dxe?1(e?1)解最后的超越方程，两条曲线相交点在x?4.9651，得
?mT?
hc?2.898?10?3m?k
4.9651ky?xy?5?5e?xx4.96515
使辐射场的内能密度取极大值的?mT为定值，这时?m与温度成反比，称为维恩位移定律。
38．按波长分布太阳辐射能的极大值在?m?480nm 处，假设太阳是黑体，求太阳的表面温度。
答案：（习题8-9）由上题所得?mT?2.898?10m?k，假设太阳是黑体，太阳表面温度近似为
?32.898?10?3T?K?6000K ?9480?10
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39．试根据热力学公式S?CV?UC?()V，dT及光子气体的热容量求光子气体的熵。 V?T?T
（习题8-10）8.4.10)给出光子气体的内能为
U?热容量
?2k4V15c3?4T 3?U4?2k4V3CV?()V?T
?T15c3?3根据热力学均匀系统熵的积分表达式
S??[CV?pdT?()VdT]?S0 T?T选择等容路径由(0,V)到(T,V)，即有
4?2k4VS?15c3?3其中已取S0?0。 40．
?T04?2k4V3TdT?T 3345c?228?3（习题8-13）解：对T?300K，n?6?10m代入
Nh2n??()32?4.15?10?22nT?32?103??1
V2?mkT3为强简并气体。
20?3对T?300K，n?6?10m代入
Nh2n??()32?4.15?10?22nT?32?10?5??1
V2?mkT3为非简并气体。
41．银的导电电子数密度为5.9?10/m，试求0K时电子气体的费米能级，费米速率和
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