N????e????2m?P222x?Py?(Pz?Po)?Vdxdydz?h3?e??V2?m32() h3?e代回最概然分布，
??Nh3?32?() V2?ma?N(?2m?)e32??2m?P222x?Py?(Pz?Po)??dpxdpydpz
?麦氏动量概率分布w(px,py,pz)dpxdpydpz?(一个分子的平动能量为：
?2m??2m)e32?P222x?Py?(Pz?Po)??dpxdpydpz
??122(px?py?pz2) 2m一个分子的平均能量为：
??????w(px,py,pz)dpxdpydpz?px2?p2y?(pz?po)2??1?322222m?()???(px?py?pz)e?dpxdpydpz 2m2m??1?32?()2m2m????2m???Px2e??2mPx2dpx??????e??2mPy2dpy?????e??2m(Pz?Po)2dpz
??e?????Px2dpx??pe???2y2mPy2dpy??e????2m(Pg?Po)2dpz
??e????2m2Pxdpx????e??2mPy2dpy????Pz2e??2m(Pz?Po)2?dpz? (4)
?以上积分有三种类型 （1）
??????e??2mP2dp?(?p22m??)12
（2）
???pe2?2mdp??2m32() 2??220?（3）
???pe2z??2m(Pz?Po)2?2mdpz??[(pz?p0)?2p0pz?p]e??(pz?p0)2dpz
统计力学试题 ( 第页 共4页 )
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??ye??2?p0?e????2??2my2dy?2p0????(pz?p0)e??2m(pz?p0)2d(pz?p0)
??2m(pz?p0)2dpz
????ye???2??2my2?2mdy?2p0???yey2dy?p20????e??2my2dy
??2m3222m?32() （5） ()?p0?2?所以一个分子的平动能量为
??1?32?2m322m?122m?122m?122m?12?2m32(){()()()?()()()? 2m2m?2?????2?(2m??)12(2m??)12[?2m322m?122()?()p0]} 2???123123?p0?kT?mv0
222?2m
34．表明活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体，试写出在二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率，最概然速率和方均根速率。
（习题7.10）解：考虑处于长度为L的二维容器中自由电子气的运动状态。
将周期性边界用于二维自由电子气，该粒子在两个方向动量的可能值为
px?2??nx，nx?0，?1，?2， L2??py?ny，ny?0，?1，?2，
L2在宏观尺度下，粒子的动量值和能量值是准连续的，这时往往考虑在面积V?L内，动量在px到px?dpx，py到py?dpy的动量范围内的自由粒子量子态数。 在px到px?dpx的范围内可能的数目为
dnx?在py到py?dpy的范围内可能的数目为
Ldpx 2?? 统计力学试题 ( 第页 共4页 )
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dny?2Ldpy 2??在面积V?L内，在px到px?dpx，py到py?dpy的动量范围粒子量子态数为
dnxdnyzL2L2?()dpxdpy?2dpxdpy 2??h此即二维自由电子气的简并度，由玻耳兹曼分布，处在面积V内，在dpxdpy的动量范围内分子数为
y)L2???2m(px2?p2al?2edpxdpy
h?参数由总分子数N决定，
Vh2???e????2m2(px?p2y)dpxdpy?N
V?????2mpx2e(?edpx)2?N 2??h利用I(0)?????0e??x22?px??1?2m?2mdpx)2?，(?e， dx????2??得e??h2N?2()， L2?mkT代回（1），得质心动量在dpxdpy范围内的分子数为
2?(px?p2y)1a?N()e2kmTdpxdpy
2?mkT1如果用速度作变量，作代换px?mvx，py?mvy，可得在dvxdvy范围内的分子数为
2?(vx?v2y)m2kTa?n()edvxdvy
2?kTm此即二维自由电子气的麦氏速度分布。
2?(vx?v2y)m2kT)edvxdvy 对应的麦氏速度分布函数f(vx.vy)dvxdvy?n(2?kTm满足条件
???f(vx,vy)dvxdvy?n
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统计力学试题 ( 第页 共4页 )
在速度空间的平面极坐标中，麦氏速度分布律
?v2mf(v,?)vdvd??n()e2kTvdvd?
2?kTm两边完成速度空间所有方向的积分，
2?f(v)dv??v2?v2mm2kT2kTvdv f(v,?)vdvd??n()evdvd??n()em2?m?02?kT?0kT此即在单位面积内，速率在dv范围内的分子数，称为麦氏速率分布律
?mv2f(v)dv?n(mkT)e2kTvdv 函数f(v)称为速率分布函数，满足条件
??f(v)dv?n
0麦氏速度概率分布：w(vx,vy)dvxdvy?f(vx,vy)dvxdvy/n， 麦氏速度概率密度分布：w(vx,vy)?f(vx,vy)/n， 麦氏速率概率分布：w(v)dv?f(v)dv/n 麦氏速率概率密度分布：w(v)?f(v)/n；
最可几速率：使速率分布函数f(v)取极大值的速率。
对f(v)关于v求导，令
df(v)dv?0 dmdv(ve?2kTv2)?0 m(1?m2?2kTv2kTv)e?0
取1?mkTv2?0，得最可几速率 vm?kTm 平均速率：
统计力学试题 ( 第页 共4页 )
（3）
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mv??vw(v)dv?kT??e?m2v2kTv2dv
0利用积分I(2)??????x20ex2dx??14?32，则
v??vw(v)dv?m?2kT32?kT12kT4(m)?(2m)
方均根率：
?m2v2??v2w(v)dv?m2kTvkT?e?v3dv
0利用积分I(3)?????x20e?x3dx?12?2，则
v2??v2w(v)dv?mkT?v3e?m2kTv2dv?m12kT22kTkT2(m)?m
方均根率v2kTs满足vs?v2，于是vs?2，或v2kN0T2RTms?N?0mm?。
35．试根据麦氏速度分布律证明，速度和平动能量的涨落为：
(v?v)2?3kT8kTm??m?kTm(3?8?) (???)2??2??2?3k2T22
答案：（习题7．12）（1）用麦氏速率概率分布律：
3mw(v)dv?4???m?2?2kTv22?2?kT??e?vdv （1）?(v?v)2?v2?v2 （2）3v???vw(v)dv?4??m2?m22kTv0????2?kT???0v3e?dv?8kT?m （3）32v2???v2w(v)dv?4??2?m??2kTvdv?3kT0?2?kT???40ve?mm （4）将（3）与（4）代入（2）得：
?(v?v)2?3kT8kTkT8m??m?m(3??) 统计力学试题 ( 第页 共4页 )
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