线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|?m|DA|(m?0,且m?1). 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，
它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k?0，都有PQ?PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
解析：
（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，
可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1|y|. ① m因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ②
y2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2?1 (m?0,且m?1).
m2因为m?(0,1)?(1,??)，所以
当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m2?1).
（Ⅱ）解法1：如图2、3，?k?0，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?kx1)，N(0,kx1)，
直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得
(m2?4k2)x2?4k2x1x?k2x12?m2?0.
依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得
4k2x1m2x1，即x2?2. ?x1?x2??2m?4k2m?4k22km2x1因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?2.
m?4k2????????4k2x12km2x1,). 于是PQ?(?2x1,?2kx1)，PH?(x2?x1,y2?kx1)?(?2m?4k2m2?4k2????????4(2?m2)k2x12?0， 而PQ?PH等价于PQ?PH?m2?4k2
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即2?m2?0，又m?0，得m?2，
y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有
22PQ?PH.
y A y y
H M H N P x
Q N O P x
O D x Q O 图1 图2 (0?m?1) 第21题解答图
图3 (m?1)
?x1?(0,1)，H(x2,y2)，N(0,y1)，解法2：如图2、3，设P(x1,y1)，则Q(?x1,?y1)，
?m2x12?y12?m2,?因为P，H两点在椭圆C上，所以?22 两式相减可得 22mx?y?m,??22m2(x12?x22)?(y12?y22)?0. ③
依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得
(y1?y2)(y1?y2)??m2. ④
(x1?x2)(x1?x2)又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH2y1y1?y2. ?x1x1?x2y1y1?y21(y1?y2)(y1?y2)m2??????. x1x1?x22(x1?x2)(x1?x2)2而PQ?PH等价于kPQ?kPHm2??1，即???1，又m?0，得m?2，
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y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，
22都有PQ?PH.
?x?t?113．（2012湖南理）在直角坐标系xOy 中，已知曲线C1：? (t为参
?y?1?2t?x?asin?数)与曲线C2：?
y?3cos?? (?为参数，a?0 ) 有一个公共点在x轴上，则a= ．
x2y2?1， 解：化为普通方程得C1：2x?y?3、C2：2?a9393将其交点(,0)代入曲线C2得a2?，∴a?．
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14．（2012湖南理）（本小题满分13分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的点均在圆C2：（x-5）2＋y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x??2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C1的方程；
（Ⅱ）设P(x0，y0)（y0??3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分
别与曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x??4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．
解：（Ⅰ）解法1 设M的坐标为(x,y)，由已知得x?2?(x?5)2?y2?3． 易知圆C2上的点位于直线x??2的右侧，于是x?2?0，所以
(x?5)2?y2?x?5．
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化简得曲线C1的方程为y2?20x．
解法2 由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于 它到直线x??5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点， 直线x??5为准线的抛物线．故其方程为y2?20x．
（Ⅱ）当点P在直线x??4上运动时，P的坐标为(?4,y0)，又y0??3， 则过P且与圆C2相切得直线的斜率k存在且不为0，
每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y?y0?k(x?4)，
即kx?y?y0?4k=0．于是5k?y0?4kk?12?3.
2整理得72k2?18y0k?y0?9?0. ①
设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2， 则k1,k2是方程①的两个实根．故k1?k2??18y0y??0. ② 724?kx?y?y0?4k1?0,由?1得k1y2?20y?20(y0?4k1)?0. ③ 2y?20x,?设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4， 则y1,y2是方程③的两个实根，所以y1?y2?20(y0?4k2). ⑤
k220(y0?4k1). ④ k1同理可得y3?y4?于是由②，④，⑤三式得
2y0?4(k1?k2)y0?16k1k2?400(y0?4k1)(y0?4k2)400??? ?y1y2y3y4?k1k2k1k222400?y?y?16k1k2?00???k1k26400．
所以，当P在直线x??4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．
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15.（2012江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，
x2y2椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1(?c,0)，F2(c,0)，
ab已知点(1,e)和(e,率.
3)都在椭圆上，其中2e为椭圆的离心
(1)求椭圆的方程；
(2)设A, B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1
与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P， (i)若AF?BF12?62，求直线AF的斜率；
1 (ii)求证：PF?PF是定值
122y A P F1 O F2 B x 解(1)由题设知a?b2?c2,e?c. a由点(1,e)在椭圆上，
1c2得2?22?1 aab解得b2?1，于是c2?a2?1，
e23a2?133又点在椭圆上，所以2?2?1，即4??1，解（e,）42a4ba 10