51当t?[,5]时，g?(t)?8t?2?2?0，
48t51255111即当t?,k?时g(t)min?4??2????4.
5442164108?41122故当k?时，(AB?DE)min?4.
210
24.(2012山东文) (本小题满分13分)
3x2y2如图，椭圆M:2?2?1(a?b?0)的离心率为，直线x??a和y??b所围成
2ab的矩形ABCD的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程；
(Ⅱ) 设直线l:y?x?m(m?R)与椭圆M有两个不同的
交点P,Q,l与矩形ABCD有两个不同的交点S,T.求
|PQ|的最大值及取得最大值时m的值. |ST|c3a2?b23??……① 解：(I)e??a2a24矩形ABCD面积为8，即2a?2b?8……② 由①②解得：a?2,b?1，
x2∴椭圆M的标准方程是?y2?1.
4?x2?4y2?4,(II)??5x2?8mx?4m2?4?0， ?y?x?m,84m2?4设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则x1?x2??m,x1x2?，
55由??64m2?20(4m2?4)?0得?5?m?5.
4m2?442?8?|PQ|?2??m??4?5?m2. 55?5?2 31
当l过A点时，m?1，当l过C点时，m??1.
①当?5?m??1时，有S(?m?1,?1),T(2,2?m),|ST|?2(3?m)，[来源:学科网]
|PQ|45?m2446?????1， |ST|5(3?m)25t2t其中t?m?3，由此知当?，即t?,m???(?5,?1)时，
25. 51t344353|PQ|取得最大值|ST|②由对称性，可知若1?m?5，则当m?时，③当?1?m?1时，|ST|?22，由此知，当m?0时，
5353|PQ|2取得最大值5. |ST|5|PQ|2?5?m2， |ST|5|PQ|2取得最大值5. |ST|5|PQ|2取得最大值5. |ST|5综上可知，当m??和0时，
25．（2012上海理）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1:2x2?y2?1. （1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积；（4分）
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，求证：
OP⊥OQ；（6分）
（3）设椭圆C2:4x2?y2?1. 若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON， 求证：O到直线MN的距离是定值.（6分）
解：（1）双曲线C1:x1?y2?1，左顶点A(?2222,0)，渐近线方程：y??2x.
32
过点A与渐近线y?2x平行的直线方程为y?2(x?22)，即
y?2x?1.
??y??2x?x?? 解方程组?，得?1??y?2x?1?y?224.
28 所以所求三角形的面积1为S?1|OA||y|?2 故
|b|2.
（2）设直线PQ的方程是y?x?b.因直线与已知圆相切，
?1，即b2?2.
?y?x?b 由?2，得x2?2bx?b2?1?0. 2?2x?y?1?x1?x2?2b 设P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则?. 2xx??b?1?12 又2，所以
OP?OQ?x1x2?y1y2?2x1x2?b(x1?x2)?b2
?2(?b2?1)?b?2b?b2?b2?2?0，
故OP⊥OQ.
（3）当直线ON垂直于x轴时， |ON|=1，|OM|=
22，则O到直线MN的距离为
2233.
当直线ON不垂直于x轴时，
设直线ON的方程为y?kx（显然|k|?），则直线OM的方程为
y??1x. k2??y?kx?x? 由?2，得?224x?y?1???y?14?k2k24?k2，所以|ON|2?1?k24?k2.
同理|OM|2?1?k22k2?1.
3k2?3k2?1 设O到直线MN的距离为d，因为(|OM|2?|ON|2)d2?|OM|2|ON|2，
11? 所以d12?|OM2?||ON|2?3，即d=
33.
综上，O到直线MN的距离是定值.
26. （2012上海文）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2?y2?1.
①设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若|MF|?22，求点M的坐标； ②过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
33
③设斜率为k(?2?k?2)的直线l交C于P、Q两点，若l与圆x2?y2?1相切，
求证：OP?OQ.
?6?2,?2?②答案：①M?③略
4?2?
27．（2012四川理）(本小题满分12分) 如图，动点M到两定点A(?1,0、B(2,0)构成?MAB，且
?MBA?2?M，设动点ABM的轨迹为C.
yM（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y??2x?m与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|?|PR|，求
解：（1）设M的坐标为（x,y），显然有x>0,y?0.
|PR|的取值范围. |PQ|AOBxy当∠MBA=90°时，点M的坐标为（2，, ±3） 当∠MBA≠90°时；x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
|y||y|x?1??2tan?MAB|y|2 x?2有tan∠MBA=,即1?()1?tan2?MABx?12MAOBx化简得：3x2-y2-3=0,而又经过（2，,±3）
综上可知，轨迹C的方程为3x2-y2-3=0（x>1）
?y??2x?m22x?4mx?m?3?0.（*） (II)由方程?2消去y，可得2?3x?y?3?0由题意，方程（*）有两根且均在（1，+?）内，设f(x)?x2?4mx?m2?3
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??4m??2?1??所以?f(1)?12?4m?m2?3?0
???(?4m)2?4(m2?3)?0???解得，m>1,且m?2
设Q、R的坐标分别为(x0,y0),(xR,yR)，由PQ?PR有
xR?2m?3(m2?1),x0?2m?3(m2?1)
1)2PRxR2m?3(m?1)4m?????1?所以 2PQxQ2m?3(m?1)112?3(1?2)2?3(1?2)mm22?3(1?由m>1，且m?2，有
1??1?42?3(1?1)m2?7?43,且?1??7. 12?（31?2）m4所以
PR的取值范围是?1,7??(7,7?43) PQ28．（2012四川文）(本小题满分12分)
如图，动点M与两定点A(?1,0)、B(1,0)构成?MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）设直线y?x?m(m?0)与y轴交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|?|PR|，求
解：（Ⅰ）设M的坐标为(x,y)，当x??1时，直线MA的斜率不存在；当x?1时，直线MB的斜率不存在，于是x??1．此时，MA的斜率为
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|PR|的取值范围． |PQ|yy，MB的斜率为． x?1x?1