?x1?(0,1)，H(x2,y2)，N(0,y1)，解法2：如图2、3，设P(x1,y1)，则Q(?x1,?y1)，
2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?22 两式相减可得 22??mx2?y2?m,m2(x12?x22)?(y12?y22)?0. ③
依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得
(y1?y2)(y1?y2)??m2. ④
(x1?x2)(x1?x2)又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即于是由④式可得kPQ?kPH2y1y1?y2. ?x1x1?x2y1y1?y21(y1?y2)(y1?y2)m2??????. x1x1?x22(x1?x2)(x1?x2)2而PQ?PH等价于kPQ?kPHm2??1，即???1，又m?0，得m?2，
22y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，
2都有PQ?PH.
x2y2?1， 解：化为普通方程得C1：2x?y?3、C2：2?a9393将其交点(,0)代入曲线C2得a2?，∴a?．
242解：（Ⅰ）解法1 设M的坐标为(x,y)，由已知得x?2?(x?5)2?y2?3． 易知圆C2上的点位于直线x??2的右侧，于是x?2?0，所以
21
(x?5)2?y2?x?5．
化简得曲线C1的方程为y2?20x．
解法2 由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于 它到直线x??5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点， 直线x??5为准线的抛物线．故其方程为y2?20x．
（Ⅱ）当点P在直线x??4上运动时，P的坐标为(?4,y0)，又y0??3， 则过P且与圆C2相切得直线的斜率k存在且不为0，
每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y?y0?k(x?4)，
即kx?y?y0?4k=0．于是5k?y0?4kk?12?3.
2整理得72k2?18y0k?y0?9?0. ①
设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为k1,k2， 则k1,k2是方程①的两个实根．故k1?k2??18y0y??0. ② 724?k1x?y?y0?4k1?0,由?得k1y2?20y?20(y0?4k1)?0. ③ 2y?20x,?设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1,y2,y3,y4， 则y1,y2是方程③的两个实根，所以y1?y2?20(y0?4k2). ⑤
k220(y0?4k1). ④ k1同理可得y3?y4?于是由②，④，⑤三式得
2?y400(y0?4k1)(y0?4k2)400?0?4(k1?k2)y0?16k1k2??? y1y2y3y4?k1k2k1k222400?y?y?16k1k2?00???k1k26400．
22
所以，当P在直线x??4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值6400．
解(1)由题设知a2?b2?c2,e?由点(1,e)在椭圆上，
1c2得2?22?1 aabc. a解得b2?1，于是c2?a2?1，
e23a2?133又点在椭圆上，所以2?2?1，即4??1，解得a2?2 （e,）42a4bax2?y2?1. 因此，所求椭圆的方程是2(2)由(1)知F1(?1,0),F2(1,0),又直线AF2平行,所以可设直线AF1与BF1的方程为
x?1?my,直线BF2的方程为x?1?my.设A(x1,y1),B(x2,y2),y1?0,y2?0
?x122m?2m2?2?y1?1?22由?2得(m?2)y1?2my1?1?0,解得y1? 2m?2?x?1?my1?1故AF1?(x1?1)?y1?(my1)?y122222(m2?1)?mm2?1??① 2m?22(m2?1)?mm2?1同理, BF2??② 2m?22mm2?162m?2， (ⅰ)由①②得AF1?BF2?解得?22m?2因为m?0，故m?2，所以直线AF1的斜率为（ⅱ）因为直线AF2平行,所以1与BF12? m2PB?PF1BF2?AF1PBBF2,于是 ??PF1AF1PF1AF1故PF1?
AF1BF1.由点B在椭圆上知BF1?BF2?22
AF1?BF223
从而PF1?AF1BF2(22?BF2).同理PF2?(22?AF1)
AF1?BF2AF1?BF2AF1BF2(22?BF2)?(22?AF1)
AF1?BF2AF1?BF2因此PF1?PF2??22?2AF1?BF2
AF1?BF222(m2?1)m2?1又由①②知AF1?BF2? ,AF1?BF2?2m2?2m?2所以PF1?PF2?22?232.因此PF1?PF2是定值. ?22?????????????????????【解析】（1）MA?(?2?x,1?y)，MB?(2?x,1?y)，OM?(x,y),OA?OB?(0,2) 代入式子可得4x2?4(1?y)2?2y?2整理得x2?4y （2）略
【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题. 【解析】设A?x1,y1?,B?x1,-y1?，又知A1?-a,0?,A2?a,0?，则 直线A1A的方程为 y=直线A2B的方程为
2y1?x+a? ① x1+ay=-y1?x-a? ② x1-a-y12由①②得 y=22?x2-a2 ③ ?x1-ax12?x12y1222?由点A?x1,y1?在椭圆C0上，故可得2+2=1，从而有y1=b?1-2?，代入③得
ab?a?x2y2-2=1?x<-a,y<0? ……6分 2ab（2）证明：设A'?x2,y2?，由矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，得
4x1y1=4x2y2,?x12y12=x22y22，因为点A,A'均在椭圆上，所以?x12?22?x22?bx?1-2?=bx2?1-2?
?a??a?221 24
由t1?t2，知x1?x2，所以x12+x22=a2。从而y12+y22=b2，因而t12+t22=a2+b2为定值…12分
【命题意图】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程，是简单题.
???????得?=2,?=?，故圆C1与圆C2交点的坐标为?2,?,?2,-? ……5分
3?3??3?注：极坐标系下点的表示不唯一
?x=?cos?（2）（解法一）由?，得圆C1与圆C2交点的直角坐标为1,3,1,-3
?y=?sin??x=1故圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为?-3?t3 y=t?????（或参数方程写成
?x=1-3?y?3） … 10分 ??y=y（解法二）
?x=?cos?1将x=1代入?，得?cos?=1，从而?=
cos??y=?sin??x=1??于是圆C1与圆C2的公共弦的参数方程为?-???
3?y=tan?3
19.（2012辽宁文）已知双曲线x2 曲线上一点，若P F1⊥P
F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】23 【解析】由双曲线的方程可知a?1,c?2,?PF1?PF2?2a?2,
?PF1?2PF1PF2?PF2?4
22? y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双
?PF1?PF2,?PF1?PF2?(2c)2?8,?2PF1PF2?4,?(PF1?PF2)?8?4?12,?PF1?PF2?23222
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