（20）（2012辽宁文）(本小题满分12
y 分)
如图，动圆C1:x2?y2?t2,1 x2与椭圆C2：?y2?1相交于A，B， 9A O A1 B C A2 D x C，D四点，点A1,A2分别为C2的左，右顶点。 (Ⅰ)当t为何值时，矩形ABCD的面 积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。 【答案与解析】 解(1)设A（x0,y0）,则矩形ABCD的面积S?4x0?y0, 22x0x022?y0?1得y0?1?由, 992x012929?)? 从而xy?x(1?)??(x099242020202?当x0921,y0?时,Smax?6从而t?5时矩形ABCD的面积最大,最大面积为6. 22(2)由A(x0,y0),B(x0,?y0),A1(?3,0),A2(3,0)知 直线AA1的方程为y?y0(x?3)??① x0?3?y0(x?3)??② x0?3直线A2B的方程为y?2?y0由①②得y?2(x2?9)?? ③ x0?92 26 2x0又点A（x0,y0）在椭圆C上,故y?1??? ④ 920x2?y2?1,(x??3,y?0) 将④代入③得9x2?y2?1,(x??3,y?0). 因此点M的轨迹方程为9 20.（2012辽宁文）(本小题满分10分)选修4?4：坐标系与参数方程 在直角坐标xOy中，圆C1:x2?y2?4，圆C2:(x?2)2?y2?4。 (Ⅰ)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1,C2的极坐 标方程，并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示)； (Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程。 【答案与解析】 ???2?解?得??2,???. 3???4cos???故圆C1与圆C2交点的坐标为(2,),(2,?). 33?x??cos?（2）由?得圆C1与圆C2交点的直角坐标为(1,3),(1,?3), ?y??sin? ?x?1故圆C1与圆C2公共弦的参数方程为?,t?[?3,3] ?y?t21.（2012全国卷理）（本小题满分12分） 设抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A?C，已知以F为圆心， FA为半径的圆F交l于B,D两点； 27 （1）若?BFD?900，?ABD的面积为42；求p的值及圆F的方程； （2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点， 求坐标原点到m,n距离的比值。 解（1）由对称性知：?BFD是等腰直角?，斜边BD?2p 点A到准线l的距离d?FA?FB?2p S?ABD?42?1?BD?d?42?p? 2 2 圆F的方程为x2?(y?1)2?8 2px0 （2）由对称性设A(x0,)(x0?0)，则F(0,) 22p22x0x0p2 点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?)?p????x0?3p2 2p2p23pp?p3p3p?0 得：A(3p,)，直线m:y?22x??x?3y?2223p3ppx2x33 x?2py?y?,) ?y????x?p?切点P(362pp332 直线n:y?p33p3?(x?)?x?3y?p?0 63363p3p:?3。 26 坐标原点到m,n距离的比值为 22.（2012全国卷理）本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程 ?x?2cos?已知曲线C1的参数方程是?(?为参数)，以坐标原点为极点，x轴的 y?3sin??正半轴 28 为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是??2，正方形ABCD的顶点都在C2上， ?且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,) 3（1）求点A,B,C,D的直角坐标； （2）设P为C1上任意一点，求PA?PB?PC?PD的取值范围。 2222?5?4?11?) 解（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,),(2,),(2,),(2,3636 点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1) ?x?2cos? （2）设P(x0,y0)；则?0(?为参数) ?y0?3sin? t?PA?PB?PC?PD?4x2?4y2?40 ?56?20s2i?n? 23.(2012山东理)（本小题满分13分） 在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为（Ⅰ）求抛物线C的方程； （Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由； 1与抛物线C有两个不同的交点A，4122B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，AB?DE的最小值。 23。 42222 ,76][56（Ⅲ）若点M的横坐标为2，直线l：y=kx+ xp解析：（Ⅰ）F抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F(0,)，设M(x0,0)(x0?0)， 22p2 29 Q(a,b)，由题意可知b?b?p，则点Q到抛物线C的准线的距离为43ppp3???p?，解得p?1，于是抛物线C的方程为x2?2y. 42424（Ⅱ）假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M， x11而F(0,),O(0,0),M(x0,0)，Q(a,)，MQ?OQ?QF， 422xx113(x0?a)2?(0?)2?a2?，a?0?x0， 2416881x0?14321122由x?2y可得y??x，k?x0?432，则x0?x0??x0， 8842x03?x088142即x0?x0?2?0，解得x0?1，点M的坐标为(1,). 22223（Ⅲ）若点M的横坐标为2，则点M(2,1)，Q(?21,)。 84?x2?2y1?2由?1可得x?2kx??0，设A(x1,y1),B(x2,y2)， y?kx?2?4?AB?(1?k2)[(x1?x2)2?4x1x2]?(1?k2)(4k2?2) 2221213圆Q:(x?)?(y?)2???，D?82641632k??2821?k?2k81?k2 3k23?2k2， DE?4[?]?3232(1?k2)8(1?k2)253?2k221?k?t?[,5] 于是AB?DE?(1?k)(4k?2)?，令248(1?k)22223?2k22t?1112AB?DE?(1?k)(4k?2)??t(4t?2)??4t?2t??， 8t8t48(1?k2)2222设g(t)?4t2?2t?111?，g?(t)?8t?2?2， 8t48t 30