11．若(a?i)为纯虚数（i为虚数单位），则实数a? 答案：?1
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 分析：式子展开，利用复数是纯虚数，求出a的值即可 解答：(a?i)?a?2ai?i?a?1?2ai ∵是纯虚数
?a2?1?0∴?，解得a??1 ?a?022222故答案为?1
备注：考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念。难度A 12．已知sin(答案：?725?2?x)?35，则cos2x?
考点：二倍角的余弦
分析：把已知等式利用诱导公式sin(?2?x)?cosx化简，求出cosx的值，然后利用二倍角
的余弦公式化简所求的式子，将cosx的值代入即可求得 解答：∵sin(?2?x)?cosx?235
∴cos2x?2cos故答案为?725327x?1?2?()?1??
525
备注：考点：二倍角的余弦。难度A
13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，俯视图是半圆．现有一只蚂
蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为
A正视图2B侧视图俯视图
6
答案：2?考点：平面展开最短路径问题；圆锥的计算 分析：由三视图可知几何体为一半圆锥，从而可得几何体的底面周长就是半圆锥的底面周长的一半，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造等腰三角形求得相应线段即可
解答：由三视图可知几何体为一半圆锥 其侧面展开图如图所示 ∴底面半圆的周长为?
设侧面展开图的圆心角的度数为n ∴
n??2180??
解得n?90?
∴最短路程为4cos15??故答案为2?A6
2?6
A
备注：考点：平面展开最短路径问题；圆锥的计算。难度B
14．在含有3件次品的10件产品中，取出n(n?10,n?N)件产品，记?n表示取出的次品
数，算得如下一组期望值E?n： 当n?1时，E?1?0?C3C7C10C3C7C10C3C7C10303202101*?1?C3C7C10110?310；
当n?2时，E?2?0??1?C3C7C10C3C7C10312211?2?C3C7C10C3C7C10321220?610；
当n?3时，E?3?0?.......
?1??2??3?C3C7C10330?910；
观察以上结果，可以推测：若在含有m件次品的N产品中，取出n(n?N,n?N)件产品，记?n表示取出的次品数，则E?n? 答案：
mnM*
考点：推理与证明
分析：根据题目所给式子规律，用类比推理可得出结论
解答：式子分子为次品件数的n，即为nm，分母为总产品数，即为M 故E?n?mnM
备注：考点：推理与证明。难度B 15．某同学在研究函数f(x)?x?1?2x?6x?10的性质时，受到两点间距离公式的
222启发，将f(x)变形为f(x)?(x?0)?(0?1)?(x?3)?(0?1)，则f(x)表示
22|PA|?|PB|（如图），下列关于函数f(x)的描述正确的是 ．（填上所有正
确结论的序号）
①f(x)的图像是中心对称图形； ②f(x)的图像是轴对称图形；
yA（0,1）0xB（3，-1）③函数f(x)的值域为[13,??)； ④方程f[f(x)]?1?10有两个解． 答案：②③
考点：函数的性质及其应用
分析：如图：设P(x1,0),Q(x2,0)，当P,Q关于(,0)对称时，即
2f(x1)?f(x2)，所以f(x)关于x?3x1?x22?32，
32对称
④设f(x)?t，则f(t)?1?10，观察出t1?0，则t2?3，由③知无解 解答：如图：设P(x1,0),Q(x2,0)，当P,Q关于(,0)对称时，即
2f(x1)?f(x2)，所以f(x)关于x?3x1?x22?32，
32对称，故②是正确的
13，
∵f(x)表示|PA|?|PB|，而|PA|?|PB|最小值为|AB|?∴函数f(x)的值域为[13,??)，故③是正确的
④设f(x)?t，则f(t)?1?10，观察出t1?0，则t2?3，由③知无解
备注：考点：函数的性质及其应用。难度C
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．已知函数f(x)?32sin?x?32cos?x(??0)的周期为4．
（1）求f(x)的解析式；
（2）将f(x)的图像沿x轴向右平移
23个单位得到函数g(x)的图像，P,Q分别为函数
g(x)的最高点和最低点（如图），求?OQP的大小．
yPOxQ解：（1）f(x)?∵T?4，??0 ∴??2?4?32sin?x?32 cos?x?3(12sin?x?32cos?x)?3sin(?x??3)
?2
?2x?∴f(x)?3sin(?3)
23（2）f(x)的图像沿x轴向右平移个单位得到函数g(x)?3sin?2x
∵P,Q分别为该函数图像的最高点和最低点 ∴P(1,3),Q(3,?3) ∴OP?2,PQ?4
OQ2OQ?12，∴cos???PQ2?OP22OQ?QP?32
∴???6
备注：考点：三角函数。难度A
PA,QC都与正方形ABCD所在平面垂直，AB?PA?2QC?2,AC?BD?O．17．如图，
（1）求证：OP?平面QBD； （2）求二面角P?BQ?D的余弦值；
（3）过点C与平面PBQ平行的平面交PD于点E，求
PEED的值．
PQAOBC
D解：（1）连接OQ，由题知PA//QC ∴P,A,Q,C共面
BD?AC,BD?PA,PA?AC?A
∴BD?平面PACQ ∴BD?OP
由题中数据得PA?2,AO?OC?∴?PAO∽?OCQ ∴?POA??OQC 又∵?POA??OPA?90? ∴?POA??COQ?90? ∴OP?OQ
∵BD?OP，OP?OQ，BD?OQ?O ∴OP?平面QBD
（2）如图，以A为原点，分别以AB,AD,AP所在直线为X,Y,Z轴建立直角坐标系 ∴各点坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),Q(2,2,1),O(1,1,0) ∴BP?(?2,0,2),BQ?(0,2,1)，设平面PBQ的法向量n?(x,y,z)
2,OP?6,QC?1,OQ?3