??n?BP??2x?2z?0?x?z∴?，得?
2y??z???n?BQ?2y?z?0不妨设y??1 ∴n?(2,?1,2)
由（1）知平面BDQ的法向量OP?(?1,?1,2)
OP?n|OP|?|n|?2?1?46?36666cos?OP,n????
∴二面角P?BQ?D平面角的余弦值为
11??(0,2,?2)
（3）设PE??ED，∴PD?PE?ED?(1??)ED?(0,2,?1),ED?CE?CD?DE?(?2,?2,2)
1??1??∵CE//平面PBQ
∴CE与平面PBQ的法向量n?(2,?1,2)垂直
n?CE??4?21???41???2?4?1???0
∴??∴
PEED12?
12
备注：考点：直线和平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。难度B
18．某城市2002年有人口200万，该年医疗费用投入10亿元．此后该城市每年新增人口
10万，医疗费用投入每年新增x亿元．已知2012年该城市医疗费用人均投入1000元． （1）求x的值；
（2）预计该城市从2013年起，每年人口增长率为10%．为加大医疗改革力度，要求将来
10年医疗费用总投入达到690亿元，若医疗费用人均投入每年新增y元，求y的值． （参考数据：1.1?2.85）
解：（1）依题意，从2002年起，该城市人口数组成一个等差数列 到2012年，n?11，该城市的人口数为200?(11?1)?10?300万人 故2012年医疗费用投入为300?10?1000?3?10元，即为30亿元 由于从2002年到2012年医疗费用投入也组成一个等差数列 所以10?(11?1)x?30，解得x?2
4911
（2）依题意，从2013年起（记2013年为第一年） 该城市的人口数组成一个等比数列{an}
其中a1?300?(1?10%)?300?1.1，公比q?1.1,an?300?1.1 医疗费用人均投入组成一个等差数列{bn} 其中b1?1000?y，公差为y，bn?1000?ny
于是，从2013年起，将来10年医疗费用总投入为：S10?a1b1?a2b2?????a10b10
S10?300(1000?y)?1.1?300(1000?2y)?1.1?????300(1000?10y)?1.1 1.1S10?300(1000?y)?1.1?300(1000?2y)?1.1?????300(1000?10y)?1.1
2311210n相减得：?0.1S10?300[1100?1.1y?1.1y?????1.1y?(1000?10y)?1.1]
1.1?1.11?1.1111121011?0.1S10?300[1100?y?(1000?10y)?1.1]??300(11y?1750)
∴Sn?3000(11y?1750)（万元） 由题设，3000(11y?1750)?6900000，解得y?50
备注：考点：函数模型的选择与应用。难度B
19．已知函数f(x)?x?alnx在x?1处的切线l与直线x?2y?0垂直，
g(x)?f(x)?12x?bx．
2（1）求实数a的值；
（2）若函数g(x)存在单调递减区间，求实数b的取值范围； （3）设x1,x2(x1?x2)是函数g(x)的两个极值点，若b?（1）∵f(x)?x?alnx ∴f?(x)?1?ax72，求g(x1)?g(x2)的最小值．
∵l与直线x?2y?0垂直，∴k?y?|x?1?1?a?2，∴a?1 （2）∵
g(x)?lnx?1x12x?(b?1)x22
∴g?(x)?
?x?(b?1)?x?(b?1)x?1x
由题知g?(x)?0在(0,??)上有解 ∵x?0
设u(x)?x?(b?1)x?1，则u(0)?1?0
?b?1?0?b?1???b?3 ∴只须?2??b?3或b??1???(b?1)2?4?0?2故b的取值范围为(3,??)
1xx?(b?1)x?1x2（3）∵g?(x)??x?(b?1)?
∴令g?(x)?0，得x?(b?1)x?1?0 ∴x1?x2?b?1,x1x2?1 ∵g(x1)?g(x2)?[lnx1??lnx1x2?1222212x1?(b?1)x1]?[lnx2?x1x2122122x2?(b?1)x2]
22(x1?x2)?(b?1)(x1?x2)?ln?(x1?x2)?(x1?x2)(x1?x2)
?lnx1x2?12(x1?x2)?ln22x1x2?12(x1?x2x1x222)?lnx1x2?12x2(x1?x2x1)
∵0?x1?x2 ∴设t?x1x21t(0?t?1)，令h(t)?lnt?11(t?),(0?t?1) 2t则h?(t)??12(1?1t2)??(t?1)2t22?0，∴h(t)在(0,1)上单调递减
又∵b?72，∴(b?1)?2254，即(x1?x2)?2(x1?x2)x1x22?t?1t?2?254
2∵0?t?1，∴4t?17t?4?0，∴0?t?4，h(t)?h()?11584?2ln2
故所求最小值为
158?2ln2
备注：考点：导数；函数的最值。难度C 20．已知椭圆C:
x22?y2?1．
（1）我们知道圆具有性质：若E为圆O:x?y?r(r?0)的弦AB的中点，则直线AB的斜率kAB与直线OE的斜率kOE的乘积kAB?kOE为定值．类比圆的这个性质，写出椭圆C1的类似性质并加以证明；
（2）如图（1），点B为C1在第一象限中的任意一点，过B作C1的切线l，l分别与x轴和
y轴的正半轴交于C,D两点，求?OCD面积的最小值；
222（3）如图（2），过椭圆C2:x28?y22?1上任意一点P作C1的两条切线PM和PN，切点
分别为M,N．当点P在椭圆C2上运动时，是否存在定圆恒与直线MN相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．
yDBMOCxPyNOx图（1）图（2）
解：（1）若A,B为椭圆C1:x22?y2?1上相异的两点，E(x0,y0)为A,B中点，当直线AB的斜率kAB与直线OP的斜率kOP的乘积kOP?kAB比为定值
?x122?y1?1??2证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?
22?x2?y2?1??2两式相减得：
(x2?x1)(x2?x1)2?(y2?y1)(y2?y1)?0
∵仅考虑斜率存在的情况
∴x0?2y0?kAB?0?kOE?kAB??12
（2）（i）当点A无限趋近于点B时，割线AB的斜率就等于椭圆上点B的切线的斜率k 即k?kOB??
12,k??x22y2
∴点B处的切线QB:y?y2??x22y2(x?x2)?x22x?y2y?1
令x?0，yD?1y2，
∴点B在椭圆的第一象限上，所以x2?0,y2?0,22x222?y2?1
2∴1?x2?y?22x222?y2?2x2y2
2∴S?OCD?2x2y222??2，当且仅当
x2?y2?x2?2y2?1
所以当B(1,)时，三角形OCD的面积的最小值为2
（ii）设P(m,n)，由（i）知点M(x2,y2)处的切线为：又PM过点P(m,n)，所以同理点N(x4,y4)在直线
x2x32x32x?y3y?1
m2x?ny?1上
m?y3n?1，又可理解为点M(x3,y3)在直线
m2m?yn?1上，所以直线MN的方程为：x?ny?1
所以原点O到直线MN的距离d?m412??n222
所以直线MN始终与圆x?y?2212相切
备注：考点：圆锥曲线的定义、性质与方程；直线与圆锥曲线的关系。难度C 21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题积分． （1）选修4?2：矩阵与变换
已知矩阵A?? ?，B?? ?
?23??23??11??12?（I）求矩阵A的逆矩阵A；
（II）求直线x?y?1?0在矩阵AB对应的线性变换作用下所得曲线的方程．
11 ?1?0 23?1?1解：（1）∵detA?