Born to win
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 设z?esinxy,则dz? ________. (2) 设曲线f?x??x3?ax与g?x??bx2?c都通过点??1,0?,且在点??1,0?有公共切线,
则a? ________, b? ________, c? ________.
n(3) 设f?x??xex,则f???x?在点x? ________处取极小值 ________. (4) n阶行列式
?a?0??0???0??bb0ab0a000000?00??00??? ________. ?ab??0a??___?(5) 设A,B为随机事件,P?A??0.7,P?A?B??0.3,P?AB?? ________.
??二、选择题(本题满分15分,每小题3分；每一小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其
中只有一个是正确的,把你认为正确的结论的代号写在题后的圆括号内,每一小题选对得3分,不选或选错一律得0分.)
(1) 下列各式中正确的是 ( )
?1??1?(A) lim (B) 1??1lim???1???e x?0??x?0??x?x??1??1?(C) lim?1????e (D) lim?1???e
x??x???x??x?(2) 设数列的通项为
x?xxx?n2?n,n为奇数，??nxn??
?1, n为偶数，??n则当n??时,xn是 ( ) (A) 无穷大量 (B) 无穷小量
(C) 有界变量 (D) 无界变量
(3) 设A,B为n阶方阵,满足等式AB?0,则必有 ( )
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(A) A?0或B?0 (B) A?B?0 (C) A?0或B?0 (D) A?B?0
(4) 设A是m?n矩阵,Ax?0是非齐次线性方程组Ax?b所对应的齐次线性方程组,则下
列结论正确的是 ( ) (A) 若Ax?0仅有零解,则Ax?b有唯一解
(B) 若Ax?0有非零解,则Ax?b有无穷多个解 (C) 若Ax?b有无穷多个解.,则Ax?0仅有零解 (D) 若Ax?b有无穷多个解,则Ax?0有非零解
(5) 设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )
(A) A与B不相容 (B) A与B相容 (C) P?AB??P?A?P?B? (D) P?A?B??P?A?
三、(本题满分5分)
求极限 limx?1?xx????2?.
21x
四、(本题满分5分)
求定积分I???2x?x?1?dx.
?11
五、(本题满分5分)
x2arctanxdx. 求不定积分 I??1?x2
六、(本题满分5分)
已知xy?xf?z??yg?z?,xf??z??yg??z??0,其中z?z?x,y?是x和y的函数. 求证：??x?g?z????z?z??y?fz?????y. ?x?
七、(本题满分6分)
假设曲线L1：y?1?x2?0?x?1?、x和y轴所围区域被曲线L2：y?ax2分为面积
相等的两部分,其中a是大于零的常数.试确定a的值.
八、(本题满分8分)
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某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为p1和p2；销售量分别为q1和
q2；需求函数分别为
q1?24?0.2p1和q2?10?0.05p2.
总成本函数为
C?35?40?q1?q2?.
试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？
九、(本题满分6分)
证明不等式
1?1?ln?1????0?x????.
x1?x??
十、(本题满分5分)
设n阶矩阵A和B满足条件A?B?AB.
(1) 证明A?E为可逆矩阵(其中E是n阶单位矩阵)；
?1?30???(2) 已知B?210,求矩阵A. ????002??
十一、(本题满分7分)
设有三维列向量
?1????1??1??0??,???1???,???1?,?????,
?1??1??2??3????2???????111????????????问?取何值时,
(1) ?可由?1,?2,?3线性表示,且表达式唯一? (2) ?可由?1,?2,?3线性表示,且表达式不唯一? (3) ?不能由?1,?2,?3线性表示?
十二、(本题满分4分)
已知向量???1,k,1?是矩阵
T Born to win
?211??
A??121????112??的逆矩阵A的特征向量,试求常数k的值.
十三、(本题满分7分)
一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.
(1) 求X的概率分布.
(2) 求E??1?1?1?X??. ?
十四、(本题满分7分)
在电源电压不超过200伏、在200
240伏和超过240伏三种情形下,某种电子元件损坏
2的概率分别为0.1,0.001 和0.2,假设电源电压X服从正态分布N220,25,试求：
??(1) 该电子元件损坏的概率?； (2) 该电子元件损坏时,电源电压在200附表： 240伏的概率?.
x ??x? 0.10 0.200.40 0.60 0.801.00 1.20 1.40 0.5300.5790.6550.7260.7880.8410.8850.919 注：表中??x?是标准正态分布函数.
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1991年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】esinxycosxy?ydx?xdy? 【解析】方法一：先求出两个偏导数
?z?z和,然后再写出全微分dz, ?x?y??zsinxysinxy?e?cosxy?y?yecosxy???x, ??z??esinxy?cosxy?x?xesinxycosxy???y所以 dz??z?zdx?dy?yesinxycosxydx?xesinxycosxydy ?x?y ?esinxycosxy(ydx?xdy).
方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz.
dz?d?esinxy??esinxyd?sinxy??esinxycosxydxy?esinxycosxy?ydx?xdy?.
(2)【答案】a??1,b??1,c?1
【解析】由于曲线f?x?与g?x?都通过点??1,0?,则
??f??1???1?a?0, ?g?1?b?c?0????又曲线f?x?与g?x?在点??1,0?有公切线,则f???1??g???1?,即
f???1???3x2?a?(3)【答案】x???n?1?；?e??n?1?x??1?3?a?g???1??2bxx??1??2b,
亦即3?a??2b,解之得 a??1,b??1,c?1.
?n?k?????Cnuvkk?0nn?k?【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式?uv? f(n)可知,
012(x)?Cnx(ex)(n)?Cnx?(ex)(n?1)?Cnx??(ex)(n?2)?xxn(n)x?Cnxe
?xe?ne?0??0?(x?n)ex.