Born to win
十二、(本题满分4分)
?1【解析】由?为A的特征值可知,存在非零向量?使A????,两端左乘A,得
???A?1?.
?1因为??0,故??0,于是有A??1??.按特征值定义知
1?是A的特征值,且?为相应
?1的特征向量.
本题中设?0是?所属的特征值,即A?1???0?.于是???0A?,
?211??1??1???0?2?k?1??1,??k???k????1?2k?1?k,?k??2或k?1.
?0?121????????0????112????1????1????0?1?k?2??1,注：利用特征值、特征向量的定义来建立方程组,通过借方程组可求出参数.这种方法在以后
的考试中多次出现.
【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.
十三、(本题满分7分)
【解析】(1)首先确定X的可能值是0,1,2,3,其次计算X取各种可能值的概率.
设事件Ai?“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,i?1,2,3,且Ai相互独立.
1P?Ai??PAi?.
2??事件Ai发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为i?1.所以有
P?X?0??P?A1??1,
2P?X?1??PA1A2?PA1P?A2??1????22,
2323, .
P?X?2??PA1A2A3?PA1PA2P?A3??1P?X?3??PA1A2A3?PA1PA2PA3?1则X的概率分布为
??????????????0 1 2 3 1111P?X?x? 2 3 3 22221111(2)离散型随机变量的取值为1,,,.所以其概率分布为
1?X234x Born to win
1 211P?X?x? 2 221 由离散型随机变量数学期望计算公式 n1 1?x1 31 321 41 32E(X)??xk?P?X?xk?,
k?1因为
1的概率分布已知,所以有 1?X?1E??1?X?111111167. ?????????224384896?24,这是由于该街道仅有三个设有红绿信
注：此题易犯的一个错误是将P?X?3?计算为1号灯的路口,X?3仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问
题.
十四、(本题满分7分)
【解析】这是一个全概率公式与正态分布的综合题.设B?“电子元件损坏”,
A1??X?200?,A2??200?X?240?,A3??X?240?,A1,A2,A3可以构成一个完备事
件组,且
?200?220?P?A1??P?X?200?????????0.8??1???0.8??0.212,25??P?A2??P?200?X?240????0.8?????0.8??2??0.8??1?0.576, P?A3??P?X?240??1?P?A1??P?A2??0.212.P?B|A1??0.1；P?B|A2??0.001；P?B|A3??0.2.
(1)应用全概率公式 ??P?B???P?A?P?B|A??0.0642.
iii?13(2) 应用贝叶斯公式或条件概率定义,有
??P?A2|B??P?A2?P?B|A2??0.009.
P?B?,An构成一个完备事件组,即它们是两两互不相
【相关知识点】全概率公式：如果事件A1,容,其和为?(总体的样本空间)；并且P?Ai??0,i?1,2,,n,则对任一事件B有
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P?B???P(Ai)P(B|Ai).
i?1n贝叶斯公式：如果事件A1,则对正整数m,有
,An构成一个完备事件组,并且P(Ai)?0,i?1,,n,P(B)?0,P(Am|B)?P(Am)P(B|Am)n?P(Am)P(B|Am),(1?m?n).
?P(Ai)P(B|Ai)i?1P(B)