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n对函数g?x??f???x?求导,并令g??x??0,得
g??x??f(n?1)(x)?(x?n?1)ex?0,
解之得驻点x???n?1?,且
?g?(x)?0,x??(n?1),函数g(x)严格单调递减； ???g(x)?0,x??(n?1),函数g(x)严格单调递增；n故x???n?1?是函数g?x??f???x?的极小值点,极小值为
g(?n?1)?f(n)(?n?1)?(?n?1?n)e?n?1??e?n?1.
n(4)【答案】a???1?n?1bn
【解析】因为本题行列式中零元素较多,所以考虑将行列式按某一行或者某一列展开,达到降阶的目的.
方法1：按第1列展开,有
ab00abD?a000000ab00abD?a0000000ba0000?b??1?ab0a0000?bab0a0ban?1bab?an???1?babn?1bn.
方法2：也可以按第一行展开,有
,
abba对第二个n?1阶行列式,按第一列展开有
b?b??1?a?n?1??1abab???1?bn?1.
nbn所以 D?a???1?n?1babn.
【相关知识点】行列式的性质：将行列式对任一行按下式展开,其值相等,即
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D?ai1Ai1?ai2Ai2??ainAin??aijAij ?i?1,2,j?1n,n?
其中Aij?(?1)i?jMij,Mij是D中去掉第i行第j列全部元素后按原顺序排列成的n?1阶行列式,它称为aij的余子式,Aij称为aij的代数余子式. (5)【答案】0.6
【解析】由概率基本公式,有
P?A?B??P?A?AB??P?A??P?AB??P?AB??P?A??P?A?B??0.4,
?___?故 P?AB??1?P?AB??0.6.
??
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(A)
【解析】由重要极限lim(1?)?e可知,
x??1xx1x1?x?(?1)?e?1,
x??x??xx1?x1x?(?1)?e?1. lim(1?)?lim(1?)x??x??xx极限 lim(1?)?lim[1?(?)]1limln(1?)xlimxln(1?)ln(1?)x1xxxxx?0?x?0?而极限 lim(1, ?)?lime?e?e?x?0?x?0x11令t?1,则 xx?0xln(1?)?lim lim?1xln(1?t)1洛lim?0,
t???t???1?tt1limxln(1?)1x0xx?0?所以 lim(1?)?e?e?1.
x?0?x故选项(A)正确.
(2)【答案】(D)
【解析】由于n为奇数时,x?n?1???(当n??时), nn为偶数时,x?1?0(当n??时), n所以当n??时,xn既不是无穷大量,也不是无穷小量,而是无界变量.故应选(D). (3)【答案】(C)
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【解析】由AB?0,用行列式乘法公式,有AB?AB?0,所以,A与B这两个数中至少有一个为0,故应选(C). 注意,若A???11??11?,,有AB?0,显然A?0,B?0.这里一个常见的错误B??????1?1??11?是“若AB?0,B?0,则A?0”.要引起注意.
(4)【答案】(D)
【解析】Ax?0仅有零解?r?A??n,Ax?b有唯一解?r?A??rA?n. 现在的问题是由r?A??n能否推导出rA?n？若A是n阶矩阵,结论肯定正确,那么m?n矩阵呢？
?????x1?x2?0,?x1?x2?1,??考察下面的例子：?x1?x2?0, ?x1?x2?2,
?x?x?0,?x?x?3,?12?12显然Ax?0只有零解,而Ax?b无解,可见(A)不正确.
Ax?b有无穷多解?r?A??rA?n,因为r?A??n,故Ax?0必有非零解. 所以
(D)正确.故应选(D).
【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A??Ab?的秩,即是r(A)?r(A)(或者说,b可由A的列向量?1,?2,亦等同于?1,?2,??,?n线表出,
,?n与?1,?2,,?n,b是等价向量组).
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b,则
（1） 有唯一解 ? r(A)?r(A)?n. （2） 有无穷多解 ? r(A)?r(A)?n. （3） 无解 ? r(A)?1?r(A).
? b不能由A的列向量?1,?2,2.对齐次线性方程组Ax?0,有定理如下:
对矩阵A按列分块,有A???1,?2,,?n线表出.
,?n?,则Ax?0的向量形式为
?xn?n?0,
x1?1?x2?2?那么, Ax?0有非零解??1,?2,,?n线性相关
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?r??1,?2, ?r?A??n. (5)【答案】(D) 【解析】AB?A,?n??n
B,如果AB??,则AB??,即A与B互不相容；如果
AB??,则AB??,即A与B相容.由于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确.
任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和. 又因AB??,从而
A?B?AB?A,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容
等同于A、B相互独立而错选(C).
A,B不相容,P?A?,P?B?均不为零,因此
P?AB??P????0,P?AB??P?A?P?B?.
即(C)不正确. 用排除法应选(D).
事实上,P?A?B??P?A??P?AB??P?A?.
三、(本题满分5分)
【解析】本题属?型未定式极限.
0方法一：limx?1?xx????2?1x?limex???1lnx?1?x2x?lnx?1?x???elim1x?
2x???2111?x2而 limlnx?1?x洛lim?lim=0,
22x???xx???x???x?1?x1?x1x??1?x于是 limx?1?xx????2??e0?1.
方法二：limx?1?xx????2?1x?1?, ?limx??1?1?x2??x?????1x1x1lnx?1?00而 lim?1?1?2??2?1, limxx?limex?e?1,
x???x???x????x???1x Born to win
于是 limx?1?x2x?????1x?1.
四、(本题满分5分) 【解析】 I? ??1?1?2x?x?1?dx??21?1?4x2?x2?1?4xx?4x?2x?dx
?1?1?5x2?1?2x?dx??1?1?4xx?4x?dx,
因为积分区域关于原点对称,5x2?1?2x为偶函数,4xx?4x为奇函数,所以由定积分的性质可知
??5x?112?1?2x?dx?2??5x?1?2x?dx, ?2011?1?4xx?4x?dx?0,
所以 I?2?10?5x2?1?2x?dx?2??5x2?2x?1?dx
0122?5? ?2?x3?x2?x??.
?3?03
五、(本题满分5分) 【解析】方法一：I??1?1???1?arctanxarctanxdx?arctanxdx????1?x2dx 1?x2??xarctanx??xdarctanx??arctanxdarctanx
x12dx?arctanx 21?x21112?xarctanx??dx?arctan2x 221?x211?xarctanx?ln?1?x2??arctan2x?C.
22?xarctanx??方法二：令arctanx?u,则x?tanu,1?x2?sec2u,dx?sec2udu
tan2u222I???u?secudu?utanudu?usecu?1?du ?2??secu??usec2udu??udu??udtanu??udu
1dcosu12?utanu??tanudu?u2?utanu???u
2cosu21?utanu?lncosu?u2?C
2