Born to win
11?xarctanx?ln?1?x2??arctan2x?C.
22
六、(本题满分5分)
【解析】将xy?xf?z??yg?z?两边同时对x,y分别求偏导数,得
?z?z???y?fz?xfz?ygz????????x?x?, ??z?z?x?xf??z??g?z??yg??z??y?y??y?f?z???z????xxf??z??yg??z?即 ?.
x?g?z???z???yxf??z??yg??z??于是 ?x?g?z???z?x?g?z???y?f?z???z???y?f?z??. ?xyg??z??xf??z??y
七、(本题满分6分)
【解析】先求出曲线L1和L2的交点,然后利用定积分求出平面图形面积S1和S2,如图：
1?x?,??y?1?x0?x?1????1?a由? 得 ?2??y?a.?y?ax?????a?0??1?a?2所以 S?S1?S2??10ydx??(1?x2)dx
012?13? ??x?x??,
3?03?S1??11?a01??1?x?2??ax11?a2?dx???011?a2??1?1?ax????dx
?1?a3???x?x?3??0又因为S?2S1,所以
?2. 31?a22?2?,即1?a?2,解得a?3. 331?a Born to win
八、(本题满分8分)
【解析】方法1：总收入函数为
R?p1q1?p2q2?24p1?0.2p12?10p2?0.05p22,
总利润函数为
L?R?C??p1q1?p2q2????35?40?q1?q2??? ?32p1?0.2p12?12p2?0.05p22?1395. 由极值的必要条件,得方程组
??L
??p?32?0.4p1?0,?1
?
??L?12?0.1p?0,
2
???p2
即p1?80,p2?120.
因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当p1?80,p2?120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为
Lp?80,p?120?（32p1?0.2p12?12p2?0.05p22?1395）12p1?80,p2?120?605
方法2：两个市场的价格函数分别为
p1?120?5q1,p2?200?20q2,
总收入函数为
R?p1q1?p2q2??120?5q1?q1??200?20q2?q2,
总利润函数为
L?R?C??120?5q1?q1??200?20q2?q2???35?40?q1?q2??? ?80q1?5q12?160q2?20q22?35. 由极值的必要条件,得方程组
??L??q?80?10q1?0,?1?q1?8,q2?4. ??L??160?40q2?0,???q2因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当q1?8,q2?4,即p1?80,
p2?120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为Lq1?8,q2?4?605.
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九、(本题满分6分) 【解析】令g(x)?ln?1?方法一：利用单调性.
??1?1,欲证不等式成立,只需证g(x)?0,x?(0,??). ??x?1?x1211???11?x由于 g?(x)??ln(1?)?, ????22?1x1?x?1?(1?x)x(1?x)?x?且x?(0,??),故g?(x)??1?0,所以函数g(x)在(0,??)上单调减少. 2x(1?x)又 limg(x)?lim?ln(1?)?x???x???1x1??0, 1?x????1?1???????0?x????. ?x?1?x于是有g(x)?0,x?(0,??),所以ln?1?方法二：利用拉格朗日中值定理. 令 ln?1???1??x?1??ln????ln(1?x)?lnx?u(x?1)?u(x), x?x??所以在区间(x,x?1)存在一点?,使得
u(x?1)?u(x)?u?(?)(x?1?x)?u?(?)?1?,
即ln(1?)?1x1?,又因为0?x???1?x,所以
111??,所以 1?x?x1111?ln(1?)??, 1?xx?x即 ln?1???1?1???????0?x????. ?x?1?x
十、(本题满分5分)
【解析】(1)由A?B?AB,加项后因式分解得有
AB?B?A?E??A?E??B?E??E,
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所以A?E可逆,且?A?E??1?B?E,?B?E??A?E,?B?E??A?E.
?1?1?1(2) 由(1)小题得出A?E??B?E?.
对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：A???ab??,则求A的伴随矩阵
?cd???ab??d?b?A*??????.
?cd???ca??ab?1?d?b?1??如果A?0,这样????A??ca?ad?bc?cd??A?1?A0?再利用分块矩阵求逆的法则：?????0B??0?1?1?1?d?b???. ?ca??0?,有 ?1?B??0?30??1A0???1??200?B?E????01?, ??????001???0??1利用2阶矩阵快速求逆法得 A????1??31?2??, 0?????0?1????3??0??1200?0??0?, ??1???再利用分块矩阵求逆的法则,得?B?E??1?A?10?????01???1?1?1故 A?E??B?E?????3??0??应当用定义法.
十一、(本题满分7分)
1210?0??0?. ??2???注：由A?B?AB要证A?E可逆时,因为满足关系式A?B?AB的矩阵A,B不唯一,故
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【解析】设x1?1?x2?2?x3?3??,将分量代入得到方程组
??1???x1?x2?x3?0,??x1??1???x2?x3??, ?2x?x?1??x??.??3?12对方程组的增广矩阵作初等行变换.
第一行分别乘以有??1?、??1???加到第二行和第三行上,有
110??1???1???1?????1??1????22?11?????1??????2?再第二行加到第三行上,所以有
10??0???, ??0?2????0???. 00?2????1101?1???????2????3??2若??0且??3??0,即??0且???3,则r?A??rA?3,方程组有唯一解,即
???可由?1,?2,?3线性表示且表达式唯一.
若??0,则r?A??rA?1?3,方程组有无穷多解,?可由?1,?2,?3线性表示,且表达式不唯一.
若??3,则r?A??2,rA?3,方程组无解,从而?不能由?1,?2,?3线性表示. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A??Ab?的秩,即是r(A)?r(A)(或者说,b可由A的列向量?1,?2,亦等同于?1,?2,????,?n线表出,
,?n与?1,?2,,?n,b是等价向量组).
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b,则 (1) 有唯一解 ? r(A)?r(A)?n. (2) 有无穷多解 ? r(A)?r(A)?n. (3) 无解 ? r(A)?1?r(A).
?b不能由A的列向量?1,?2,
,?n线表出.