四川理工学院毕业论文
第1章 前 言
随着计算机和通信技术的迅速发展,在自然科学和工程技术等众多领域中,利用计算机进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节,也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法.泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松的，而且研究也是很方便的，特别是对计算机编程计算是极为方便．如果将所研究的对象转化为多项式,那么问题就会比较简单了.这就使我们想到可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此有很多科学家和学者对此做出了重要的贡献.首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的.
泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿插值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,但没有给出余项的具体表达式.随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式．现代也有很多期刊和教材对这部分内容进行了介绍,对近似计算上的应用介绍也已较全面,较系统．但在其它领域的应用则显简单,不系统，不全面，为了方便以后的学习,有必要对此部分内容进行归纳总结.
本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念,相关定理及余项表达式.在此基础上，对泰勒公式在证明等式和不等式，求极限和中值点的极限，函数方程和线形插值中的应用做了介绍，另外还可以用来求极值，研究函数图形的局部形态，在近似计算中的应用等方面进行了全面地总结,同时配备了相应的例题解答和文字说明,以便于读者更好地去理解.
应该说,本文的最大特点是全面性和系统性,所涉及到的内容不仅有我们所经常用到的内容,还有一部分是我们不很常见的泰勒公式的应用,这对于想补充一下自己的课外知识的学者很有帮助.虽然例题不是很多,但很典型.只要深入去把握,并挖透习题,了解其中的方法,就可以“以不变应万变”.
由于时间和能力有限,文中有错误是在所难免的,敬请读者批评指正.
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第2章 预备知识
第2章 预备知识
前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．
给定一个函数f(x)在点x0处可微，则有：
f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x??(?x)
这样当?x??1时可得近似公式
f(x0??x)?f(x0)?f?(x0)?x
或
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，x?x0??1
即在x0点附近，可以用一个x的线形函数（一次多项式）去逼近函数f，但这时有两个问题没有解决：
（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f．
（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量
?(x?x0)，如果要求误差不得超过10?4，用f(x0)?f?(x0)(x?x0)去替代f(x)行吗？因
此就需要用新的逼近方法去替代函数．
在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．
2.1 Taylor公式
首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x的n次多项式在x0附近去逼近f，即令
f(x)?a0?a1(x?x0)?...?an(x?x0)n （2.1）
从几何上看，这表示不满足在x0附近用一条直线（曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))的切线）去替代y?f(x)，而是想用一条n次抛物线f(x)?a0?a1(x?x0)?...?an(x?x0)n去替代它．
我们猜想在点(x0,f(x0))附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数a0，a1?
an如何确定呢？
假设f本身就是一个n次多项式，显然，要用一个n次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有
f(x)?a0?a1(x?x0)?...?an(x?x0)n
于是得：a0?f(x0)
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求一次导数可得：a1?f?(x0) 又求一次导数可得：a2?这样进行下去可得：
f???(x0)f(4)(x0)f(n)(x0)a3?，a4?，? ，an?
3!4!n!f??(x0) 2!因此当f是一个n次多项式时，它就可以表成：
nf(n)(x0)f(k)(x0)nf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)??(x?x0)k （2.2）
n!k!k?0即x0附近的点x处的函数值f(x)可以通过x0点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f，只要它在x0点存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式
f??(x0)f(n)(x0)2Tn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)?...?(x?x0)n
2!n!(x0) (k?1,2,3,...,n) ，称k!为泰勒系数．因而n次多项式的n次泰勒多项式就是它本身．
称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，Tn(x)的各项系数
f(k)2.2 Taylor公式的各种余项
对于一般的函数，其n次Taylor多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点x0附近能近似地用它在x0点的n次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回答这个问题的．
定理1[10] (带拉格朗日型余项的Taylor公式)
假设函数f(x)在|x?x0|?h上存在直至n?1阶的连续导函数，则对任一
x?[x0?h,x0?h],泰勒公式的余项为
f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1
(n?1)!其中??x0??(x?x0)为x0与x间的一个值.即有
f(n)(x0)f(n?1)(?)nf(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)?(x?x0)n?1 (2.3)
n!(n?1)! 推论1[10] 当n?0，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：
f(x)?f(x0)?f?(?)(x?x0)
所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2[10] 在定理1中,若令
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f(n?1)(?)Rn(x)?(1??)n?1?p(x?x0)n?1p?n!则称Rn(x)为一般形式的余项公式, 其中??型余项．若令p?1，则得
f(n?1)(?)Rn(x)?(1??)n(x?x0)n?1n!(p?0)
??x0x?x0．在上式中，p?n?1即为拉格朗日
(p?0),
此式称为柯西余项公式．
当x0?0，得到泰勒公式：
f??(0)2f(n)(0)nf（n?1）(?x)n?1f(x)?f(0)?f?(0)x?x?...?x?x，(0???1) （2.4）
2!n!(n?1)!则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．
定理２[10] （带皮亚诺型的余项的Taylor公式） 若函数f在点x0处存在直至n阶导数，则有
nPn(x)??k?0f(k)(x0)(x?x0)k， k!Rn(x)?f(x)?Pn(x)．
则当x?x0时，Rn(x)??((x?x0)n)．即有
f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?...?(x?x0)n??((x?x0)n) （2.5）
n!定理3所证的（2.5）公式称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x)?f(x)?Pn(x)， 称为泰勒公式的余项的，形如?((x?x0)n)的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式
当（2.5）式中x0?0时，可得到
f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x?...?x??(xn) （2.6）
2!n!（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．
由于Rn(x)??((x?x0)n)，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．
定理３ 设h?0，函数f(x)在U(x0;h)内具有n?2阶连续导数，且f(n?2)(x0)?0，
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