四川理工学院毕业论文
f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)n??((x?x0)n) (x?x0)
n!于是
?f(n)(x0)?((x?x0)n)? f(x)??f(x0)?f?(x0)(x?x0)??(x?x0)??n?(x?x0)??n!n由于
?f(n)(x0)?((x?x0)n)?f(n)(x0) lim???n?x?x0n!(x?x0)??n!由此可见：???0，?x?X?B?(x0,?)，有：f(x)??f(x0)?f?(x0)(x?x0)?与
f(n)(x0)(x?x0)n同号． n!（1）当n为偶数， 如果f(n)(x0)?0，则
f(x)??f(x0)?f?(x0)(x?x0)??0，?x?X?B?(x0,?)
这就表明在点(x0,f(x0))邻近，曲线y?f(x)位于切线y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)的上方；
如果f(n)(x0)?0，则有
f(x)??f(x0)?f?(x0)(x?x0)??0，?x?X?B?(x0,?)
因此，在点(x0,f(x0))邻近，曲线y?f(x)位于切线y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)的下方．
（2）当n为奇数，这时若f(n)(x0)?0(?0)，则
f(x)??f(x0)?f?(x0)(x?x0)??0(?0)， ?x?X?B?(x0,?)
?f(x)??f(x0)?f?(x0)(x?x0)??0(?0)， ?x?X?B?(x0,?)
?由此知，在x0的右侧，曲线y?f(x)位于切线y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)的上（下）方；而在x0的左侧，曲线y?f(x)位于切线y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)的下（上）方．因此，曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处与该点的切线横截相交．
3.8 应用Taylor公式研究线形插值
例3.8.1（线形插值的误差公式） 设f:[a,b]?R为实一元函数，l为两点
(a,f(a))与(b,f(b))所决定的线形函数，即l(x)?b?xx?af(a)?f(b)，l称为f在b?ab?a区间[a,b]上的线形插值．
如果f在区间[a,b]上二阶可导，f在[a,b]上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．
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第3章 泰勒公式的应用
应用带Lagrange型余项Taylor公式：???(a,x)，???(x,b)，使得
l(x)?f(x)?b?x?f(a)?f(x)??x?a?f(b)?f(x)?b?ab?ab?x?11?x?a??22???????(a?x)f(x)?(a?x)f(?)?(b?x)f(x)?(b?x)f(?)?b?a??b?a?22????(b?x)(x?a)?x?ab?x??????f(?)?f(?)?b?a?2b?a??(b?x)(x?a)?f??(?)2
其中，??(a,b)，最后一个式子是由于
b?xx?a?0，?0． b?ab?amin{f??(?),f??(?)}?min{f??(?),f??(?)}(?x?ab?x?)b?ab?a
x?ab?xf??(?)?f??(?)b?ab?a?max{f??(?),f??(?)}以及Darboux定理推得．
如果M为f??(x)的上界（特别当f??(x)在[a,b]上连续时，根据最值定理，取
M?maxf??(x)），则误差估计为
x?[a,b](b?x)(x?a)(b?a)2l(x)?f(x)?|f??(?)|?M，?x?[a,b]
22这表明，M愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M很小时，曲线y?f(x)的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．
3.9 应用Taylor公式研究函数表达式
例3.9.1[4] 设在内有连续三阶导数，且满足方程：
f(x?h)?f(x)?hf?(x??h)，0???1．(?与h无关) （3.16）
试证：f(x)是一次或二次函数．
证明：要证f(x)是一次或二次函数，就是要证f??(x)?0或f???(x)?0．因此要将（3.16）式对h求导，注意?与h无关，我们有
f?(x?h)?f?(x??h)??hf??(x??h) （3.17）
从而
f?(x?h)?f?(x)?f?(x)?f?(x??h)??f??(x??h) （3.18）
h令h?0，对（3.17）式两边取极限得：f??(x)??f??(x)??f??(x)，即
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f??(x)?2?f??(x)
若??若??
1
，由此知f??(x)?0，f(x)为一次函数； 2
1111，则（3.17）式变成：f?(x?h)?f?(x?h)?hf??(x?h)．此式两端2222同时对h求导，减去f??(x)，除以h，然后令h?0取极限，即得f???(x)?0，即f(x)为二次函数．
实际上在一定条件下证明某函数f(x)?0的问题，我们称之为归零问题，上例实际上也是f??(x)，f???(x)的归零问题．
因此17
结束语
结束语
由于泰勒公式着重是利用增量法原理进行推导而来的，因而在很多近似问题中有广泛应用，但并不是所有的近似问题都可以用泰勒公式，它的限制条件也比较多，必须是
n阶连续可微函数，如果近似的阶数越小，则求出的误差也就会越大．
本文首先介绍了一下数学家泰勒及其他的主要著作，了解这部分内容有助于后面对他的主要贡献有所帮助．紧接着对泰勒公式的余项进行了归纳总结，根据不同的近似情况选取不同的余项形式．最后就是这篇论文的重点了，将泰勒公式在数学中各个方面的应用归纳总结了一下，概括性比较好．希望对其他学习者有所帮助．
论文是一个综合性比较强的内容，写论文不但要求你会运用大学四年中所学的知识，还需要很多你在课堂上没有学到的内容．这就需要你在大学期间不但要学好专业知识，还要学习一下其他方面的知识．在写论文的同时还考查我们的查阅文献的能力，计算机操作能力，文字处理能力等等．这些都是我们在大学期间需要掌握的一些基本技能．可以说本次论文既是对前修课程一次系统的复习，也是对自己所学知识的一次考察，一次系统的梳理，更进一步的巩固了自己所学到的知识．
由于自己的水平能力有限，没有对这方面的内容进行深入的研究．虽然已经学习了很多有关方面的知识，但在写论文的过程中还是遇到了很多困难，再加上自己的知识有限，所写的论文难免有不足之处．“一份耕耘，一份收获”，正是遇到了困难，才给了自己研究解决的机会，才得以学习到解决这些问题的方法，才能够锻炼自己的思维，培养自己的能力．
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参考文献
［1］吴文俊．世界著名科学家传记[M]．北京：科学出版社，1992 ［2］刘景麟，黄振友．微积分（上）[M]．国际工业出版社，2006 ［3］华东师范大学数学系．数学分析（上）[M]．高等教育出版，2001 ［4］裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．高等教育出版社，2006 ［5］同济大学数学教研室．高等数学[M]．高等教育出版社，1993 ［6］杨万利．数学分析名师导学[M]．中国水利水电出版社，2005 ［7］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义[M]．高等教育出版社，1992
［8］孙清华，孙昊．数学分析内容、方法与技巧[M]．华中科技大学出版社，2003 ［9］范陪华，李永乐，袁荫棠．数学复习全书[M]．国家行政学院出版社，2008 ［10］曹之江，王刚．微积分学简明教程[M]．高等教育出版社，2004 ［11］陈纪修，徐惠平．数学分析习题全解指南[M]．高等教育出版社，2005 ［12］徐森林，薛春华. 数学分析(第一册)[M].清华大学出版社, 2005
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