第3章 泰勒公式的应用
所以，limx?0cosx?ex4?x22x4???(x5)1?lim124??． x?012x像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．
例3.3.2 设函数?(x)在?0,???上二次连续可微，如果lim?(x)存在，且???(x)在
??(x)?0．?0,???上有界，试证：xlim???x???
x???证明：要证明lim??(x)?0，即要证明：???0，???0．当x?M时???x???． 利用Taylor公式，?h?0，
?(x?h)??(x)???(x)h????(?)h2 （3.10）
即
12??(x)?x???1??(x?h)??(x)??1???(?)h （3.11） h2记A?lim?(x)，因???(x)有界，所以?M?0，使得
???(x)?M， (?x?0)
故由（3.11）知
1??(x?h)?A?A??(x)??1|???(?)|h （3.12） h2??(x)?1????0，首先可取h?0充分小，使得Mh?， 然后将h固定，因A?lim?(x)，
x???22所以???0，当x??时
1??(x?h)?A?A??(x)??? h2从而由（3.12）式即得：??(x)??2??2??．即
x???lim??(x)?0
例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程． （1）y?3(x?2)(x?1)2；
?215（2）y?x(cos?e2x)．
x1解：（1）首先设所求的渐近线为 y?ax?b，并令 u?
1
，则有： x
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(1?2u)(1?u)?a?bux??u?0u22(1?u)(1?u)?a?bu??(u)33 ?limu?0u1?a?bu??(u)?lim?0u?0u从中解出：a?1，b?0．所以有渐近线：y?x．
lim[3(x?2)(x?1)2?ax?b]?lim（2）设y?ax?b，u?
113231
，则有 x
?u22?21cosu?e?au4?bu552xlim[x(cos?e)?ax?b]?limx??u?0xu5u2u4u2u4(1??)(1??)?au4?bu5??(u5)22422?4?lim
u?0u?0从中解出：a??1，a?1,b?0． 121x． 12所以有渐近线：y?? 从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．
上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．
3.4 应用Taylor公式求中值点的极限
例3.4.1[4] 设
(1)f(x)在(x0??,x0??)内是n阶连续可微函数，此处??0； (2)当k?2,3,...,(n?1)时，有f(k)(x0)?0 ，但是f(n)(x0)?0；
(3)当0?h??时有
f(x0?h)?f(x0)?f?(x0?h?(h))． （3.13）
h其中0??(h)?1，证明：
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第3章 泰勒公式的应用
lim?(h)?n?1h?01． n证明：要求出?(h)的极限必须设法解出?(h)，因此将（3.13）式左边的f(x0?h)及右端的f?(x0?h?(h))在x0处展开，注意条件(2)，知??1,?2?(0,1)使得
hn?n?f(x0?h)?f(x0)?hf?(x0)?f(x0??1h)， （3.14）
n!hn?1(?(h))n?1(n)f?(x0?h?(h))?f?(x0)?f(x0??2h?(h))， （3.15）
(n?1)!于是（3.13）式变为
hn?1(n)hn?1(?(h))n?1(n)f?(x0)?f(x0??1h)?f?(x0)?f(x0??2h?(h))
n!(n?1)!从而
?(h)?n?1(x0??1h)． (n)nf(x0??2h?(h))f(n)因?1,?2,?(h)?(0,1)，利用f(n)(x)的连续性，由此可得
lim?(h)?n?1h?01． n 这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．
3.5 应用Taylor公式近似计算
由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．
例3.5.1 求：（1）计算e的值，使其误差不超过10?6；
（2）用泰勒多项式逼近正弦函数sinx，要求误差不超过10?3，以m?2的情形讨论x的取值范围．
解：(1) 由于ex的麦克劳林的泰勒展开式为：
xxne?x e?1?x??...??xn?1,0???1
2!n!(n?1)!x2当x?1时，有
11e? e?1?1??...??2!n!(n?1)!e?3故Rn(1)?． 当n?9时，有 ?(n?1)!(n?1)!12
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R9(1)?33??10?6 10!3628800从而省略R9(1)而求得e的近似值为： e?1?1?111??...??2.718285 2!3!9!(2) 当m?2时，
x3 sinx?x?，使其误差满足：
6x5cos?x5R4(x)?x??10?3
5!5!只需x?0.6543（弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过10?3．
3.6 应用Taylor公式求极值
定理3.1
[12]
设f在x0附近有n?1阶连续导数，且
f?(x0)?f??(x0)?...?f(n)(x0)?0， f(n?1)(x0)?0
（1）如果n为偶数，则x0不是f的极值点．
（2）如果n为奇数，则x0是f的严格极值点，且当f(n?1)(x0)?0时，x0是f的严格极小值点；当f(n?1)(x0)?0 时，x0是f的严格极大值点．
证明：将f在x0点处作带皮亚诺型余项的Taylor展开，即：
f(n?1)(x0)f(x)?f(x0)?(x?x0)n?1??((x?x0)n?1)
(n?1)!于是
?f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)?n?1 f(x)?f(x0)???(x?x)?0n?1(x?x0)?(n?1)!?由于
?f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)?f(n?1)(x0) lim???n?1?x?x0(n?1)!(x?x0)?(n?1)!?f(n?1)(x0)?((x?x0)n?1)f(n?1)(x0)故???0，(x0??,x0??)中，与同号． ?n?1(n?1)!(x?x0)(n?1)!（1）如果n为偶数，则由(x?x0)n?1在x0附近变号知，f(x)?f(x0)也变号，故x0不是f的极值点．
（2）如果n为奇数，则n?1为偶数，于是，(x?x0)n?1在x0附近不变号，故
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第3章 泰勒公式的应用
f(n?1)(x0)同号． f(x)?f(x0)与
(n?1)!若f(n?1)(x0)?0，则f(x)?f(x0)，?x?(x0??,x0)?(x0,x0??)，x0为f的严格极小值点．
若f(n?1)(x0)?0，则f(x)?f(x0)，?x?(x0??,x0)?(x0,x0??)，x0为f的严格极大值点．
例3.6.1 试求函数x4(x?1)3的极值．
解：设f(x)?x4(x?1)3，由于f?(x)?x3(x?1)2(7x?4)，因此x?0,1,三个稳定点．f的二阶导数为
4是函数的7f??(x)?6x2(x?1)(7x2?8x?2)，
44由此得，f??(0)?f??(1)?0及f??()?0．所以f(x)在x?时取得极小值．
77求三阶导数
f???(x)?6x(35x3?60x2?30x?4)，
有f???(0)?0，f???(1)?0．由于n?1?3，则n?2为偶数，由定理3.1知f在x?1不取极值.
再求f的四阶导数
f(4)(x)?24(35x3?45x2?15x?1)，
有f(4)(0)?0．因为n?1?4，则n?3为奇数，由定理3.1知f在x?0处取得极大值．
444336912（）（?）??综上所述，f(0)?0为极大值，f()?为极小值． 777823543由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．
3.7 应用Taylor公式研究函数图形的局部形态
定理3.2[12] 设X?R为任一非空集合，x0?X，函数f:X?R在x0处n阶可导，且满足条件：f??(x0)?f???(x0)?...?f(n?1)(x0)?0，f(n)(x0)?0．
（1）n为偶数，如果f(n)(x0)?0(?0)，则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．
（2）n为奇数，则曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处与该点的切线横截相交．
证明：因为f在x0处n阶可导，并且f??(x0)?f???(x0)?...?f(n?1)(x0)?0，
f(n)(x0)?0，所以f在x0的开邻域 B?(x0,?)内的n阶Taylor公式为
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