yz?x3．的全微分dz? _
4．ydx?xdy?0的通解为 ________________
?zy??xx5．设，则______________________
6．微分方程y???2y??5y?0的通解为
z?arctan7．若区域D?(x,y)|x?y?4，则
??22???2dxdy?D
1?n2n?08．级数的和s=
二．选择题：（每题3分，共15分）
1．f?x,y?在点?a,b?处两个偏导数存在是f?x,y?在点?a,b?处连续的 条件 （A）充分而非必要 （B）必要而非充分
（C）充分必要 （D）既非充分也非必要
2．累次积分
1x0?dx?010f(x,y)dy改变积分次序为
10?(A)
（C）
10dy?f(x,y)dxdy?y20? （B）
（D）
dy?10x01f(x,y)dx
?10f(x,y)dx?dy?2f(x,y)dxy3x???y?5y?6y?xe3．下列函数中， 是微分方程的特解形式(a、b为常数)
（A）y?(ax?b)e3x （B） y?x(ax?b)e3x
23x3xy?x(ax?b)ey?ae（C） （D）
4．下列级数中，收敛的级数是
n??（A） n?12n?1 （B） n?12n?1 （C）
?z?222x?y?z?4z?x5．设，则
?1?(?3)n?nn?12 （D）
?(?1)n?nn?1?
xxxx?(A) z (B) 2?z (C) z?2 (D) z
三、求解下列各题（每题7分，共21分） 1. 设
z?u2lnv,而u???z?zx,,v?3x?4y?x?y y，求
xe??D23n?nn22. 判断级数n?1
?y2dxdy的收敛性 3.计算
，其中D为x?y?1所围
22
区域
四、计算下列各题（每题10分，共40分） 1. 求微分方程
y??1y?lnxx的通解.
2.计算二重积分
I????x?y?dxdy，其中D是由直线y?x,x?1及x轴围成的平面区域.
D3.求函数f(x,y)?y3?x2?6x?12y?5的极值.
??xn4.求幂级数n?1n2?4n的收敛域.
高等数学（下）模拟试卷一参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
y1、 {(x,y)|x?y?0,x?y?0} 2、?x2?y2 3、4、2 5、y?C1ex?C2e?3x
二、选择题：（每空3分，共15分） 1.C2.D3.C4A5.D三、计算题（每题8分，共48分） 1、解： A(1,2,3)?s?{1,0,?1}s?12?{2,1,1} ??i??n?s??jk1?s2?10?1??i?3?j??k211 6?
?平面方程为 x?3y?z?2?0 8?
2、解： 令
u?xy2v?x2y 2?
?z??zu??u?x??z?v??v?x?f2 ?x?1??y?f2??2xy?z?z?u 6?
y??u??y??z?v??v?y?f1??2xy?f2??x2?3、解：D:0???2??r?2 8?0 ， 3?
40dx?x1f(x,y)dy2x
2?
?
2?02?232xdxdy?rcos?drd???????DDcos2?d??r3dr0?4? 8?
2x2??fx(x,y)?e(2x?2y?4y?1)?01?2x(,?1)fy(x,y)?e(2y?2)?0??4．解： 得驻点2 4?
A?fxx(x,y)?e2x(4x?4y2?8y?4),B?fxy(x,y)?e2x(4y?4),C?fyy(x,y)?2e2x 6?
2211f(,?1)??e?A?2e?0,AC?B?4e?0?极小值为22 8?
?P5．解：P?2xy?3sinx,Q?x2?ey，有?y?2x??Q?x,?
曲线积分不路径无关 2? 积分路线选择：L1:y?0,x从0??，L2:x??,y从0?2 4?
?L(2xy?3sinx)dx?(x2?ey)dy??LPdx?Qdy?1?LPdx?Qdy2
?2 ??03sinxdx??0(?2?ey)dy?2?2?e2?7 8?6．解：
y??1xy?ex?P?1x,Q?ex 2?
?P(x)dx?通解为
y?e?[?Q(x)e?P(x)dxdx?C]?e??11xdx[?exe?xdxdx?C] 4?
?1x[?ex?xdx?C]?1x[(x?1)ex?C] 6?1
代入yx?1?1，得C?1，?特解为y?x[(x?1)ex?1] 8? 四、解答题 21、解：
???2xzdydz?yzdzdx?zdxdy????(2z?z?2z)dv?????zdv?? 4?
????r3cos?sin?drd?d?? 6?
?方法一： 原式＝?2?0d??4cos?sin?d?230?0rdr??2 10?
方法二： 原式＝
?2?2?r210d??10rdr?rzdz?2??r(1?r2)dr??02 10?
2、解：（1）令u1)n?1nun?13n?1?n?(?limn?1?lim??1?1?3n?1n??u?nnn??3nn3n?1n?13收敛， ? ??(?1)n?1nn?13n?1绝对收敛。 6? ??（2）令
s(x)??nxn?x?nxn?1?xs1(x)n?1n?1 2?
4?
???x0s1(x)dx???nxdx??xn?n?1n?10n?1xxx1?s1(x)?()??1?x1?x(1?x)2 5?
?s(x)?x(1?x)2x?(?1,1) 6?
高等数学（下）模拟试卷二参考答案
一、填空题：（每空3分，共15分）
1、 {(x,y)|y2?4x,0?x2?y2?1} 2、e2dx?2e2dy 3、14、12(55?1) 5、y?(Cx1?C2x)e
二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B3. B 4.D5. A 三、计算题（每题8分，共48分） 1、解： A(0,2,4)n??{1,0,2}n?12?{0,1,?3} 2?
????i?j?ks?n1?n2?102??2?i?3?j??k01?3xy?2z?4 6?
??直线方程为?23?1 8? 2、解： 令u?sinxcosyv?ex?y 2?
?z?z?u ?x??u??x??z?v??v?x?f1??cosxcosy?f2??ex?y?z?z?u?z?v 6? ?y??u??y??v??y?f1??(?sinxsiny)?f2??ex?y 83、解：
D:0????40?r?1， 3?
????arctanydxdy?Dx??r?drd??D?0?d??1?240rdr?64 8????fx(x,y)?2x?6?04．解： ??fy(x,y)?10y?10?0 得驻点(3,?1) 4? A?fxx(x,y)?2,B?fxy(x,y)?0,C?fyy(x,y)?10 ?A?2?0,AC?B2?20?0?极小值为f(3,?1)??8 5．解：
P?exsiny?2y,Q?excosy?2，
?P?Q?ex有?y?excosy?2,?xcosy,2?
1dy?e0eyf(x,y)dx
6?
8?
?
?
取A(2a,0),OA:y?0,x从0?2a 4?
?Q?P2?(?)dxdy?2dxdy??a????Pdx?Qdy??Pdx?Qdy?x?yOADD ?L 6?
?原式＝?a2－?OAPdx?Qdy＝?a2?0??a2 8?
36．解：P??11,Q?(x?1)2x? 2?
131?通解为
y?e??P(x)dx[?Q(x)e?P(x)dxdx?C]?e?x?1dx[?(x?1)2e??x?1dxdx?C] 132 四、 解答题 ?(x?1)[?(x?1)dx?C]?(x?1)[23(x?1)2?C]
?u2n?1sinn?1n?1un?1?limn??u?lim32n????11、解：（1）令
n?(?1)2nsinnn?33n2sin3n4?
????2nsin?1n?13n收敛，
??(?1)n?2nsin?n?13n绝对收敛 6?
?（2）令
(x)??xnsn?1n
??n?s(x)????x????n?1?n??xn?1?1n?11?x， 2? ?s(x)??x0s?(x)dx?s(0)??ln(1?x) 4?
2、解：构造曲面?1:z?1,上侧
??2xdydz?ydzdx?zdxdy????2xdydz?ydzdx?zdxdy?1 2?
????(2?1?1)dv?4???dv?4?2?d??11??00rdr?r2dz?8??10(1?r2)rdr?2?
4? 6? 8?
?I?2????2xdydz?ydzdx?zdxdy?1 10?
?2????dxdy??Dxy 12?
高等数学（下）模拟试卷三参考答案
4?
8?