数学的故事 解题的领悟
陕西师范大学数学教学论博士导师惠州市华罗庚中学数学教育总指导
罗增儒
Emil :zrluo@snnu．edu．cn
老师们，同学们：下午好.
我将通过数学解题的简单故事（案例）来说明数学学习的有关道理．
事实表明，学生解了大量的题但还“不开窍”的一个基本原因是：这些学生没有分析过所解的题，也没有分析过典型的习题，解题常常只是为了得个答案． 因此
●我们应当学会这样一种对待习题的态度，即把习题看做是精密研究的对象，而把解答问题看做是设计和发明的目标．
●我们应该有这样的信念，没有任何一道题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答的理解水平．
●我们应把解答问题发展为获得新知识和新技能的学习过程．（而不仅仅是学习结果的巩固）
●我们的解题实践表明：分析典型例题的解题过
程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无以替代的好主意．因而，解题学习要经历：简单模仿、变式练习、自发领悟、自觉领悟．
考虑到在这个报告厅里既有学生又有老师，既有初中未毕业的学生，又有比我中学教龄更长的高级教师，为了不辜负这个美好的下午，使每一个人都有所思考、都有所获，我将采用低起点的故事和高落点的分析来进行.首先，让我们从一个传颂千古的故事开始。
故事1 反思“曹冲称象”． 第1、曹冲称象的故事.
曹操获得一头大象，与大家一边看一边议论，“大象到底有多重呢?”由于当时没有这么大的秤杆，没有先进的仪器，这就成了一个问题，一个非常规应用问题．
存在不同水平的“问题解决”．有人提议把大象宰了，一块一块地称，这是一种“化整为零”的策略，重量虽然出来了，但珍贵的大象却不复存在了．曹操的儿子曹冲才7岁，他提出一个聪明的办法：先把大象赶到一艘大船上，看船身下沉多少，就沿着水面，
在船舷上画一条线．然后，把大象赶上岸，往船上装石头，直至船下沉到画线的地方为止．最后，称一称船上的石头，石头有多重，就知道大象有多重了．
理解曹冲方案需要物理知识（没有物理知识作保证，不能保证石头与大象等重，难保不会出现“刻舟求剑”的错误），下面的分析不涉及物理定律，纯粹数学教育的视角．
第2、问题解决的分析．
我们从数学上分析曹冲的“问题解决”过程主要有两个步骤：（解题过程的结构分析）
（1）把“整体”的大象对应为等价物：“零散”的石头(映射——化整为零)；
（2）称一小块一小块石头，得出大象的重量(逆映射——集零为整)．
一头大象————一堆石块 ? ↓
大象重量————称出石块总重量 图1 请注意，曹冲先“化整为零”、再“集零为整”的做法，与愚蠢的“宰象”方案有思想方法上的共同性，曹冲的聪明之处在于，既从别人的不成功想法中吸取了合理成分，又用等价物代替大象．（思维亮点：
通过物理知识找出等价物）
第3、反思曹冲方案．
曹冲方案的大前提是“把大象赶上船、再赶上岸”，这当中若有一次大象不愿走动，那么抬大象的困难与称大象的困难是类似的．大象自已走上走下对我们抬石头、称石头能带来什么启示呢?
就此，笔者与一位小学二年级学生进行了如下的对话．
教师：假如我们这块地方是个平原，一马平川全是黄土，没有石头，你怎么办? （把等价物从“石头”的传统认识中突破出来——不是唯一的）
学生：那我就把黄土挑上船，直至船沉到画线的地方，然后称黄土的重量． （用水也可以）
教师：挑黄土上船、下船，既费工又费时，有没有既省工又省时的更简单办法?（寻找更方便的等价物）
学生：用电子秤直接称大象．
教师：这不行，不能改变当时的技术条件． 学生：组织围观的人代替黄土，让人自己走上船、自己走下船过秤，既省工又省时，要不，赶一群羊上船也可以．
第4、反思的启示．
这个办法确实比曹冲的强．由此，可以得出3个结论：
（1）即使是“智慧典范”的解题过程也有创新的空间．
（2）即使是对小学生作解题过程的分析与启引，也能开发出解题智慧来．
（3）找回被浪费的重要信息是解题分析获得进展的一个有效途径．在曹冲方案中，“大象自己上船、下船”本已存在，只不过是在使用石头等价物时被浪费了，“小学二年级学生”无非是“找回被浪费的重要信息”．
（罗增儒：从“曹冲称象”的解题愚蠢说起——例说解题过程的改进，中学数学教学参考，2000，9）
故事2：看图说事． 第1、事实的陈述．
例1 如图2，表示某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与所花时间（t）之间的关系（S?f?t?），请
根据图象编一个故事． 图2
（每人编一个故事）