第3．反思再深入 至少还可以再指出两点：结论也是已知信息，障碍也是隐含条件． （1）结论也是已知信息．
我们还浪费了一个信息，就是当我们分析解题过程时，结论已经成为了已知信息： 即
x?y?z?0， x?y??z．
⑨
⑩
这就如同摸索在黑房子里拉开了电灯，原来我们只须证⑩式（当初并不知道），这用等比定理是可以做到的．
解法4 对已知式的前两项用等比定理，有 即
x?yz， ??a?b???b?c?c?ax?yz， ???c?a?c?ax?y??z，
有 得
x?y?z?0．
原来，在我们的心里有一个误区（涉及解题的情感态度），对三项连比式用等比定理时，会产生分母为零，就吓得连两项都不敢用等比定理了．我们说，用比例的性质来处理比例问题，更接近问题的本质（也使得设比值k成为多余）．
（2）障碍也是隐含条件．
让我们再来看①、②中用等比定理时产生分母为0的问题
xyz?? a?bb?cc?a ①
②
?x?y?z？
?a?b???b?c???c?a?这时候的“分母为０”构成了我们解题的一个障碍，但在上述的众多解法中又都用到了“分母为０”这个运算式：
?a?b???b?c???c?a??0 ○11
所以，与其说②式给我们带来了麻烦，不如说②式显化了题目的一个隐含条件○11式．这是一个积极的收获，当我们对尚未成功的②式“视而不见”、而把目光同时注视①、○11式时，①式让我们看到了两条直线重合：
xX?yY?z?0，
○12
?a?b?X??b?c?Y??c?a??0， ○13 而○11式告诉我们直线○13通过点?1,1?，因而直线○12也通过点?1,1?，得
x?y?z?0．（可记为解法
5）
第4. 基本收获
确实，反思得出的新解法，无论是在逻辑关系上还是在书写长度上，都不比解法1麻烦，相反，还都有一种高屋建瓴之势，对解题思路看得更透彻了，对知识联系看得更清楚了．这些新解法可以认为是解题分析的一个有益成果．但是，我们倡导的解题分析并不满足于多找出几个解法，而是希望通过解题过程的分析，去领悟：怎样解题，怎样学会解题．本着这样的理念，我们来自觉总结在本案例活动中的两个基本收获：
（1）通过解题分析学会解题．
聪明的学生也许一开始就能找到后面的解法，但是，如果我不算聪明、甚至还有点笨呢，那么上述历程告诉我们，我也可以通过解题过程的分析，自己学会聪明，自己学会解题，使数学解题与智力发展同行．我们的解题教学应该有“学会聪明”这个环节．
（2）解题经验的自觉积累．
基本活动经验的积累可以因人而异，我们从技术层面着重指出三点：
①学会解题过程的结构分析．具体是把解法1“分解”为三个步骤，并组织为新的结构．
②抓住实质性的第3步正面、反面提出问题．具
体是思考：有与k功能类似的替代式吗？不用k还能计算x?y?z吗？
③体验到了“结论也是已知信息”、“障碍也是隐含条件”．人们总认为“结论是未知的”、“障碍是消极的”，其实不然，要辩证地看问题．在列方程解应用题时，我们就是设未知数x并把它作为已知数一样参与运算的．
故事5 数学实验. 故事5-1剪纸演示. 例6 直观演示
11111?2?3???n???． 33332讲解 数列的无穷求和怎样用有限的图形表现出来呢？这需要一点数学想象．
如图5（1），作一个单位正方形，将其三等分，每份面积为1；取出编号为1的矩形，留下编号为2
3的矩形，对无编号的矩形三等分，每份（正方形）面积为1（图5（2））；取出编号为1的小正方形，留下
32编号为2的小正方形，对无编号的正方形三等分，每份面积为1，?如此类推，无编号的矩形面积趋向于
330，于是，编号为1的矩形面积之和等于编号为2的矩形面积之和，都等于1．（可用梯形或三角形代替，
2图6、图7）
（1） （2） 图 5
图6 图7
故事5-2 糖水浓度的演示.
请从下面的现实情景中提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明．
（1）将3小杯浓度相同的糖水混合成一大杯后，浓度还相同．
由这一情境可得等比定理：
a1a2a3a1?a2?a3???b1b2b3b1?b2?b3．
（2）糖水加糖变甜了．（糖水未饱和） （3）将几杯浓度不尽相同的糖水混合成一大杯后，大杯糖水的浓度一定比淡的浓而又比浓的淡．这又是托儿所小孩都知道的事实，但这里有“中间不等