式”的必要因素与必要形式，对ba1a2aa?a2a2??1?1?b1b2b1b1?b2b21?a1?0，b2?a2?0，有
．
（4）取浓度不等的两杯糖水，它们有一个平均浓度，合在一起后又有一个浓度，这两个浓度哪个大呢？这已经是一个有挑战性的问题了，需比较
a1?a21?a1a2????与?2?b1?b2?b1b2?的大小．
讲解 （以“糖水加糖变甜了”为例）这是一个尽人皆知的生活事实，这里有数学道理吗？该用什么样的数学关系式来表示呢？
首先，这个情境具有不等式的必要因素与必要形式．变甜、变咸所表达的是大小关系，记为
p1?p2．
这里用到了字母表示数的知识．
其次，这个情境代表什么不等式呢，它又应该用怎样的式子表达出来呢？这要调动“浓度”的概念并继续用字母表示数，设b克糖水里有a克糖（b?a?0），则
p1?a,而p2？ b2这还没有把加糖反映出来，p有待表示．再设加
入m克糖（m?0），得
p2?a?m, b?mbb?m最后，“糖水加糖变甜了”就是a?a?m．于是得到一个真分数不等式：
例7 若b?a?0，m?0，则a?a?m．
bb?m这个不等式可以有分析法、综合法、反证法、放缩法构造图形、构造定比分点、构造复数、构造函数等10多种证明方法，非常有利于沟通知识和方法之间的联系．
值得指出，很多高考题都可以用真分数不等式来求解，这一事实既说明真分数不等式可以作为一个不等式证明的基本模型，又说明求解高考题时可以化归为课堂上已解决过的问题，或化归为往届高考题．这些高考题的求解，还可以体现模式识别的层次性（直接用、转化用、综合用）．
例7-1 如果0?m?b?a,那么（ ）．
b?mbb?m?cos?cos a?maa?mbb?mb?m(B)cos?cos?cos
aa?ma?mb?mbb?m(C)cos?cos?cos
a?maa?mb?mb?mb(D)cos?cos?cos
a?ma?ma(A)cos[1989年高考数学广东题]
例7-2 设?a?是由正数组成的等比数列，S是其
nn前n项和．
（1）证明lgS lg(Sn?lgSn?2?lgSn?1；（解法见例23-41）
（2）是否存在常数c?0，使得
n?c)?lg(Sn?2?c)?lg(Sn?1?c)．
2（1995年数学高考理科第（25）题）
例7-3 已知数列?a?为等比数列，an2?6，a5?162，
（1）求数列?a?的通项公式；
n（2）设S是数列?a?的前n项和，证明SSnnnSn?22n?1?1．
（2004年数学高考文科第（18）题）
例7-4 对一切大于1的自然数，求证：
1112n?1． (1?)(1?)?(1?)?352n?12（1985年数学高考上海题）
例7-5 已知数列?b?是等差数列，
nb1?1,b1?b2???b10?145，
（1）求数列?b?的通项b；
nn（2）设数列?a?的通项
n?1?an?loga?1???bn?，（其中
a?0,且a?1），记Sn是数列?an?前n项和．试比较Sn与1logabn?1的3大小，并证明你的结论．
（1998年数学高考题理科第（25）题）
例7-6 已知i,m,n是正整数，且1?i?m?n，
（1）证明nAiimi； ?miAn（2）证明(1＋m) n＞(1＋n) m． （2001年数学高考全国卷理科第（20）题）
这几道高考题目课本都没有出现过，但可以认为是真分数不等式的应用.
故事6 自行车问题.
例8-1 一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000km后报废，若安装在后轮则行驶3000km后报废.如果行驶一定路程后交换前、后轮胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少
km？
解法1 解法2
如果你不能求解请先做第2题
例8-2 一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？
如果你能求解请返回做第1题；如果你也不能求解第2题，没关系，请先做第3题 ．
例8-3 一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？
如果你不能求解第3题，请看第4题；如果你能求解请返回做第2、1题，
例8-4 一件工程，甲工程队干需10000小时，乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 提示
111?100006000?200015?2000（小时）. ??15?250?3750118?53最终要用两个解法完成第1题．
再解1：设一对新轮胎交换位置后同时报废时自行车共行驶了Skm．由于填空题不需要书写过程，所
以，我们不妨设想自行车的车把和车座都可以旋转，用人和车的掉头代替前、后轮交换的装卸．当自行车行驶到Skm时，前轮的磨损量恰好是后轮的磨损剩余
2量，前轮的磨损剩余量恰好是后轮的磨损量，如果此时旋转车把和车座掉头返回出发地，就交换了前、后轮，再行驶Skm回到出发地时一对新轮胎同时报废．于
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