b1?b2d1?d2?a1?a2c1?c211
?(bc?a1d1)?(b2c2?a2d2)?(b1c2?b2c1?a1d2?a2d1)?0．
而已知条件只能保证前两项大于0，当第三项小于0时，不能保证命题成立．
感悟 这也是数学解题，通过推理、论证推翻一个不符合事实的结论．
数学解题，就是消除已知与未知之间的障碍，就是解决现有认识与客观需要之间的矛盾．数学解题，既有证实又有证伪．
数学解题既有确认又有理解和发现的功能.是三大功能
故事4 即使我很笨，我也能学会聪明
例4 已知3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水．现有10整瓶汽水．若不添钱，问最多还可喝几瓶汽水？(整瓶汽水指瓶子带盖装好的汽水)
第1.解法l 可作3次对换：
第1次，用原有的10个空瓶去换3整瓶汽水，剩1个空瓶．
第2次，用4个空瓶去换l整瓶汽水，剩1个空瓶．
第3次，2个空瓶换不来1整瓶，但可先借1个空瓶，换一整瓶，喝完后，还空瓶．
最多共可喝3?1?1?5瓶．
第2.反思分析 这个解法分3步完成对换，每步都重复着“3空换1整”的要求．其中最富于智慧的应是第3步，对其作正面思考：第3步的聪明就在于“借一还一”吗？（是不是？）它的实质是什么？（谁来说）我们通过下图的直观启发
图4
学生立即透过“借一还一”的技术表象而领悟到实质：2个空瓶可以换来一瓶里的“汽水”(不包括瓶子)．
可见，第3步隐含着问题的本质，已知条件中“3个空汽水瓶可以换1整瓶汽水”等价于“2个空瓶子”可以换1个瓶里的“汽水”．于是分三步完成可以合并为1步（整体处理）：
解法2 依题意，2个“空瓶”可以换1个瓶里的“汽水”，现有10个空瓶，最多可换10?5瓶里的“汽
2水”．
第3.感悟 也许，我们一开始并不能抓住已知条件的“本质”，但解法1是可以做到的，通过对“初
步解法”的分析，就有机会找回被浪费了的重要信息，获得更接近问题深层结构的解法——即使我很笨，我也能学会聪明．并且，一旦抓住了题目的本质，推广立即就成为可能：
例4-1 已知a个空汽水瓶可以换c整瓶汽水．现有b整瓶汽水．若不添钱，则最多还可喝??水．(a，b，c为正整数，a?c)
解法3 设最多可喝x瓶汽水．依题意，得方程
10?x?x， 3bc??a?c??瓶汽
有 得
2x?10， x?5．
例5 已知
xy??a?b?b?ccaa,b,c?y为互不相等的实数，且．
zx?，求
（1951年高考数学第4题）
第1．由于直接对三个比例式用等比定理会出现分母为0的问题
xyz?? a?bb?cc?a ①
②
?x?y?z？
?a?b???b?c???c?a?所以，有一个流行的说法，此题不能用等比定理．我的老师当学生的时候人们这样说，到了我的学生也当
老师的时候，人们还是这样说．设比例系数k是一个经典的处理（当年高考题的标准答案），并被认为是最关键的步骤：
解法1 设 则有 得
xyz???k， ③ a?bb?cc?a?x?k?a?b?,? ?y?k?b?c?, ④ ??z?k?c?a?,x?y?z? k?a?b??k?b?c??k?c?a?
?k???a?b???b?c???c?a??? ?0．
⑤
⑥
⑦
第2．反思分析 整体分解这个解题过程我们看到三个步骤（解题过程的结构分析）：
第1步，引进参数k，把三个外形不同而比值相等的代数式 xyz,,a?bb?cc?a用同一个符号k来表示，可以
有效防止“形异”对“值同”的干扰．（体现了“用字母表示数的思想”和“换元法”的应用）
第2步，把x,y,z与a,b,c分离，以便于计算x?y?z的值．（方法就是变形）
第3步，计算x?y?z的值，这是实质性的运算，其最基本的想法是转化为a,b,c有关式的计算，关键步骤是第⑤式．（有“转换化归的思想”）
根据这个分析，可见设比例系数k的作用有两个： 第一，有效防止“形异”对“值同”的干扰；
第二，把x,y,z与a,b,c分离以便于计算x?y?z的值． 但这都只是辅助步骤，前两步并未开始x,y,z的求和，真正产生解题实质性进展、并反映问题深层结构的是第３步，抓住实质性的第3步提出问题：
（1）（正面思考）有与k功能类似的替代式吗？ （2）（反面思考）不用k还能计算x?y?z吗？ 回应1 如果对 解法2
xyz,,“等值”看得很清楚，a?bb?cc?a那就可以把第③式直接代入式⑤，取代k得
x?y?z? ?xyza?b?b?c??????c?a? a?bb?cc?a ⑧
x??a?b???b?c???c?a????0. a?b?回应2 如果⑧式中的“形异”对“值同”的干扰还比较大，想不到作这样的变形，看不清当中的公因式，那可以直接用 z来表示k，有 c?a解法3 由已知有 相加得
z?a?b?， c?azy??b?c?， c?azz??c?a? c?azzzx?y?z? ?a?b???b?c???c?a? c?ac?ac?az??0． ??a?b???b?c???c?a????c?a x?这样，我们就有了不增设参数k的２个解法，只要作解题反思，人人都能做到．但是，反思还没有结束．