例2 求证:
4a?34a?3?a?7.
[思维切入] 由于不等式左边含有字母a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a,而左边
4a?3?a??(a?3)?3.这样变形后,在用基本不等式即可得证.
[证明]
4a?34a?3?3?4a?3?(a?3)?3?24a?3?(a?3)?3?24?3?7
当且仅当=a-3即a=5时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值
例3 (1) 若x>0,求f(x)?4x? (2)若x<0,求f(x)?4x?[思维切入]本题(1)x>0和4x?9x9x9x的最小值; 的最大值.
=36两个前提条件;(2)中x<0,可以用-x>0来转化.
解(1) 因为 x>0 由基本不等式得 f(x)?4x?9x?24x?9x?236?12,当且仅当4x?9x即x=
32时, f(x)?4x?9x取最小值12.
(2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得: ?f(x)??(4x?9x)?(?4x)?(?9x)?2(?4x)?(?9x)?236?12,
所以 f(x)?12. 当且仅当?4x??9x即x=-
32时, f(x)?4x?9x取得最大-12.
规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正.
随堂练习2 [思维拓展1] 求f(x)?4x?9x?5(x>5)的最小值.
[思维拓展2] 若x>0,y>0,且
2x?8y?1,求xy的最小值.
4.课时小结 用基本不等式ab?a?b2证明不等式和求函数的最大、最小值。
5. 作业 22１．证明：a?b?2?2a?2b ２．若x??1，则x为何值时x?1x?1有最小值，最小值为几？
31
(第13课时)
课题: 《不等式》复习小结
【教学目标】
1．会用不等式（组）表示不等关系；
2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 【教学重点】
不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。 【教学难点】
利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。 【教学过程】
1.本章知识结构
2.知识梳理 （一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c
(3)加法法则：a?b?a?c?b?c；a?b,c?d?a?c?b?d (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc；a?b,c?0?ac?bc
a?b?0,c?d?0?ac?bd
(5)倒数法则：a?b,ab?0?n1a?n1b
(6)乘方法则：a?b?0?a?b(n?N*且n?1) (7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1)
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法
3、应用不等式性质证明
（二）一元二次不等式及其解法
32
一元二次不等式的解法
一元二次不等式ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0?a?0?的解集：
设相应的一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b2?4ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 二次函数 y?ax2 ??0 y?ax2 ??0 y?ax2 ??0 y?ax2?bx?c ?bx?c ?bx?c ?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 ax2 有两相等实根 x1?x2??b2a 有两相异实根 x1,x2(x1?x2) ?bx?c?0?a?0?的根2 无实根 ax?bx?c?0(a?0)的解集ax?bx?c?0(a?0)的解集2 ?xx?x或x?x? 12?b??xx??? 2a?? R ? ?xx1?x?x2? ? （三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
33
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解 （四）基本不等式ab?a?b2a?b2
?ab(当且仅当a?b时取\?\号).
1、如果a,b是正数，那么2、基本不等式ab?a?b2几何意义是“半径不小于半弦”
3.典型例题 1、用不等式表示不等关系
例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
例2、咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为9g、4g、3g；乙种饮料用奶粉、咖啡、糖，分别为4g、5g、5g.已知买天使用原料为奶粉3600g,咖啡2000g,糖3000g。写出配制两种饮料杯数说所满足的所有不等关系的不等式。
2、 比较大小
例3 (1)（3＋2）2 ６＋26；
22
（2）（3－2） （6－1）；
（3）15?2 16?5；
(4)当a＞b＞0时，log1a log1b
22(5) (a+3)(a-5) (a+2)(a-4) (6)(x?1) x?x?1 3、 利用不等式的性质求取值范围 例4 如果30?x?42,16?y?24,则
2242 34
(1) x?y的取值范围是 , (2) x?2y的取值范围是 ,
xy(3) xy的取值范围是 , (4)
的取值范围是
例5已知函数f(x)?ax2?c,满足?4?f(1)??1,?1?f(2)?5,那么f(3) 的取值范围是 .
[思维拓展]已知?1?a?b?5，?1?a?b?3，求3a?2b的取值范围。（[-2，0]）
4、 解一元二次不等式
例6 解不等式：（1）2x2?7x?4?0；（2）?x2?8x?3?0
例7已知关于x的方程(k-1)x2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k的取值范围
5、 二元一次方程（组）与平面区域 ?x???x?例8 画出不等式组??y??x??y?6?0y?035表示的平面区域。
6、 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解
?x?2y?2?例9已知x、y满足不等式?2x?y?1,求z=3x+y的最小值。
?x?0,y?0? 35
?2x?y?300??x?2y?250[思维拓展] 已知x、y满足不等式组?，试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标，及相
x?0???y?0应的z的最大值
7、 利用基本不等式证明不等式
例8 求证(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2
8、 利用基本不等式求最值 例9若x>0,y>0,且
[思维拓展] 求f(x)?4x?
9x?52x?8y?1,求xy的最小值
(x>5)的最小值.
4.评价设计 课本第103页复习参考题[A]组的第1、2、3、4、5、6、7、8题。
36