2019年中考专题复习
第八讲 一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一、 一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程
2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件 2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2= 2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数,②、移项：把 项移到方程的 边
③、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式 ④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程 3、公式法：如果方程ax 2 +bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式
为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根
【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】 三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示 ①当 时，方程有两个不等的实数根 ②当 时，方程看两个相等的实数根
方程有两个实数跟，则
③当 时，方程没有实数根
【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】 四、一元二次方程根与系数的关系：
关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1、X2 则X1+X2 = X1X2 = 五、一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行 常见题型
1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数a（1+X）2=b
2、利润问题：总利润= × 或总利润= — 3、几何图形的面积、体积问题：按面积、体积的计算公式列方程
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】 【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的解
例1 （2018?苏州）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．
【思路分析】根据一元二次方程的解的定义把x=2代入x2+mx+2n=0得到4+2m+2n=0得n+m=-2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【解答】解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根， ∴4+2m+2n=0， ∴n+m=-2， 故答案为：-2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 考点二：一元二次方程的解法
例2 （2018?齐齐哈尔）解方程：2（x-3）=3x（x-3）． 【思路分析】移项后提取公因式x-3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可． 【解答】解：2（x-3）=3x（x-3）， 移项得：2（x-3）-3x（x-3）=0， 整理得：（x-3）（2-3x）=0， x-3=0或2-3x=0， 2解得：x1=3或x2=． 3【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是先移项，然后提取公因式，避免两边同除以x-3，这样会漏根． 考点三：根的判别式的运用
例3（2018?北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【思路分析】（1）计算判别式的值得到△=a2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；
（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4a=0，设b=2，a=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可． 【解答】解：（1）a≠0，
△=b2-4a=（a+2）2-4a=a2+4a+4-4a=a2+4， ∵a2＞0， ∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴△=b2-4a=0，
若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 考点四：根与系数的关系
例4（2018?孝感）已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+1）． （1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22-x1x2=3p2+1，求p的值．
【思路分析】（1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（2p+1）2≥0，由此即可证出：无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=5、x1x2=6-p2-p，结合x12+x22-x1x2=3p2+1，即可求出p值．
【解答】解：（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0． ∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0， ∴无论p取何值此方程总有两个实数根； （2）∵原方程的两根为x1、x2， ∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p． 又∵x12+x22-x1x2=3p2+1， ∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1， ∴52-3（6-p2-p）=3p2+1， ∴25-18+3p2+3p=3p2+1， ∴3p=-6， ∴p=-2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x12+x22-x1x2=3p2+1，求出p值． 考点五：一元二次方程的应用
例5 （2018?遵义）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函
数关系． 销售量y（千克） … 售价x（元/千克） … 34.8 22.6 32 24 29.6 25.2 28 26 … … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 【思路分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论； （2）根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b， ?22.6k?b＝34.8?k＝?2将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b，? ，解得：? ， 24k?b＝32b＝80??∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+80． 当x=23.5时，y=-2x+80=33． 答：当天该水果的销售量为33千克． （2）根据题意得：（x-20）（-2x+80）=150， 解得：x1=35，x2=25． ∵20≤x≤32， ∴x=25． 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【聚焦山东中考】
31．（2018?临沂）一元二次方程y2?y??0 配方后可化为（ ）
412A．（y?）?1
212B．（y?）?1
2