池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
28．（2018?南充）已知关于x的一元二次方程x2-（2m-2）x+（m2-2m）=0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求m的值． 29. （2018?天门）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0． （1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1-x2）2+m2=21，求m的值．
2019年中考专题复习
第八讲 一元二次方程及应用参考答案
【聚焦山东中考】
1.【思路分析】根据配方法即可求出答案．
3【解答】解：y2?y??0
43y2?y?
4y?y??1
412（y?）?1
221故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型．
2.【思路分析】直接整理原方程，进而解方程得出x的值． 【解答】解：（x+1）（x-3）=2x-5 整理得：x2-2x-3=2x-5， 则x2-4x+2=0， （x-2）2=2， 解得：x1=2+2＞3，x2=2-2， 故有两个正根，且有一根大于3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键． 3.【思路分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△=（-2）2-4（k+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得k+1≠0且△=（-2）2-4（k+1）≥0， 解得k≤0且k≠-1． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
4.【思路分析】先由二次项系数非零及根的判别式△＞0，得出关于m的不等式组，解之得出m的取值范围，再根据根与系数的关系可得出
11m?21x1?x2?，x1x2? ，结合 ??4m ，即可求出m的值．
m4x1x2【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2?（m?2）x?有两个不相等的实数根x1、x2，
m4?0
?m?0?∴? ， m2?＝(m?2)?4m?4＞0?
解得：m＞-1且m≠0． ∵x1、x2是方程mx2?（m?2）x?的两个实数根， ∴x1?x2?m?21，x1x2? ， m4m4?0
11∵ ??4m x1x2，
m?21∴ ?4m ，
m4∴m=2或-1， ∵m＞-1， ∴m=2． 故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的不等
c式组；（2）牢记两根之和等于? 、两根之积等于 ．
aab
5.【思路分析】根据二次项系数非零及根的判别式△=0，即可得出关于k的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出k的值． 【解答】解：∵关于x的方程（k-1）x2-2kx+k-3=0有两个相等的实根， ?k?1?0∴? ， 2?＝(?2k)?4(k?1)(k?3)＝03解得：k=． 43故答案为：． 4【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
6.【思路分析】若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m-5）x2+2x+2=0有实根， ∴△=4-8（m-5）≥0，且m-5≠0， 解得m≤5.5，且m≠5， 则m的最大整数解是m=4． 故答案为：m=4． 【点评】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）△=0?方程有两个相等的实数根； （3）△＜0?方程没有实数根． 7.【思路分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=-1，x1x2=-2 ∴x1+x2+x1x2=-3 故答案为：-3 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 8.【思路分析】找出一元二次方程的系数a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后利用完全平方公式变形后，将求出的两根之和与两根之积代入，即可求出所求式子的值． 【解答】解：∵x1、x2是方程2x2-3x-1=0的两根， 31∴x1?x2?,x1x2?? ， 2213∴x12?x22?(x1?x2)2?2x1x2＝ ， 4故答案为：13 。 4【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键．
9.【思路分析】根据根的判别式△＞0、根与系数的关系列出关于m的不等式组，通过解该不等式组，求得m的取值范围． ?(?4)2?4(m?1)?0【解答】解：依题意得：? ， ?3?(m?1)?4＞2解得3＜m≤5． 故答案是：3＜m≤5． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m的不等式，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）①当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根． 410.【思路分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A-16=0，解得sinA=； 5（2）利用判别式的意义得到100-4（k2-4k+29）≥0，则-（k-2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5． 分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长； 当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长． 【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A-16=0， 16， 254∴sinA=±， 5∴sin2A=∵∠A为锐角， 4∴sinA=； 5（2）由题意知，方程y2-10y+k2-4k+29=0有两个实数根， 则△≥0， ∴100-4（k2-4k+29）≥0， ∴-（k-2）2≥0， ∴（k-2）2≤0，