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第九章 信道编码
知识点 基本技术：在了解波形信道特征和仙农信道容量公式基本概念基础上，主要介绍波形编码和分组码、循环码以及卷积码等的基本编解码方法及评价。
1. 知识点及层次 ? 波形编码——主要认识基于正交的哈维码的特性。 ? 基于汉明距离的差错控制定理。（掌握） ? 线性分组码(n，h)码的结构、编码方法、解码、检纠错计算。（掌握） ? 循环码的构成特征及编码方法（掌握），以及CRC、R-S、BCH码的特征（了解）。 ? 卷积码的基本特征（熟悉概念），TCM（一般认识）。
2. 为便于自学并透彻理解信道编码原理，下面对分组码、循环码及卷积码给与更为详尽的分析。
9.1 波形编码
通过第6、7两章，我们以充分认识到正交信号设计是提高传输可靠性和最佳系统设计的重要方面。实际通信系统多半属于利用“波形信道”模型——加性高斯噪声信道、限带且功率受限的信道。信道信息方认识各种信号波形，上面四章均如此。
9.1.1 波形编码
这里所指的波形编码不是一般PCM编码，主要是基于正交的“哈维码”——它属于后面介绍的分组码的范畴。
1. 基与相关检测的正交编码
?
理论依据：码字i，j间的相关系数?1??ij?0。 正交（不相关）定义：?ij=
对位同极性码元数?异极性数?0。
码长2. 二元正交码模式（沃尔代—哈维码） ? 1、0两个简单数据的正交码为
?
?00? H1??? 9-1
01???
4元数据的正交码为
?0?0 H1???0??0000?101????H1011???H1?110?H1? 9-2 H1??2
?
M元，M?2k——多元数据正交码
Hk???
?Hk?1?Hk?1Hk?1? 9-3 Hk?1???1Si(t)Sj(t)dt???0i?ji?j特性：
?ij???
?1?0i?ji?j 或 ?ij?1Es?T0 9-4
相关检测误差概率
?e?3. 双正交码
?
1k(2?1)erfc[kEb/(2n0)] 9-5 2?H?Bk??k?1? （只用式（8-3）右半部分） 9-6
?Hk?1?最简单的双正交码：B1???
?H1?? 即00，01，11，10。 9-7 H?1?（QPSK、QAM利用了这种B1双正交特性——有优良性能）
?
特性：
?1??ij???1?0?4. 截短正交码
?
i?ji?ji?j?M/2 （PN码有类似特性） 9-8 i?ji?j?M/2Hk中去掉首项全0，如式（8-2）去掉左边4个“0”。
?
??1?特性：?ij???1??N?1?i?j （N——码长） 9-9
i?j5. 结论
?
正交码决定于相关系数?ij?0。
正交码一般要付出冗余度为代价。
这里正交码多属于下面将介绍的“线性分组码”。
鉴于语音信号特点及人耳智能，PCM 语音无须正交码。
? ? ?
9.1.2 差错控制概念
本部分主要基于二元对称或不对称、无记忆信源与无记忆信道特征。现举例说明。
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[例9-1] 二进制无记忆不对称信道，如图2-7所示，传输0，1编码序列，并分别以A0和
A1代表发送0及1码，以B0和B1代表接收0及1码。两个正确的转移概率分别为：
P(B0A0)?56，P(B1A1)?34；两个错误的转移概率分别为：P(B1A0)?16，
P(B0A1)?14，且先验概率相等，即P(A0)?P(A1)?12。
发端
P(A0)?12 A1 P(B0A0)?56 收端
B0
P(B1A0)?16P(B0A1)?14P(A1)?12 A0 P(B1A1)?34 B1
图2-7 例2-3信道模型
（1） 试计算B端收到0码及1码的概率P(B0)及P(B1)；
（2） 当分别收到0或1码后，判断原来发送的是什么码的概率，即求P(A0B0)，
P(A1B0)，P(A1B1)及P(A0B1)。
[解]（1）利用全概率公式P(B)?分别是
?P(A)P(Bii?1nAi)来计算收到0及1码的概率。它们
151113 ????262424131111和 P(B1)?P(A1)P(B1A1)?P(A0)P(B1A0)?????
242624P(B0)?P(A0)P(B0A0)?P(A1)P(B0A1)?（3） 由上述后验公式P(AiB)?P(Ai)P(BAi)?P(A)P(Bjj?1n可分别求出4个后验概率。它们
Aj)分别为
4
15?P(A0)P(B0A0)2610A0P()???
B013P(B0)1324P(A1B0)?P(A1)P(B0A1)103A?1?P(0)?1??
B0P(B0)131313?P(A1)P(B1A1)249A1P()???
B111P(B1)1124P(A0B1)?P(A0)P(B1A0)92A?1?P(1)?1??
B1P(B1)11111. 错误格式E
?
n长码字的可能差错位数：me?2?1种
n?
C?E?CR 如：C=1011（正确）E=0010（错1位） 9-10
C?E?(1001)?(0010)?1001?CR（错码）。
?
n长码随机差错总概率：
pi???i??pb(1?pb)???n?in?i （pb——n中单个码错误概率） 9-11
?n?n!??式中：??i?(n?i)!(i)! 9-12 ??在信号传输中，我们若只考虑高斯白噪声加性干扰（AWGN）,别称高斯信道。由
式（9-11），错1位概率最大；错2位概率减少近1个量级。所以，下面介绍纠错码，重点是纠1或2位，符合一般应用要求。
?
[例9-2] 兹有一个码长为4bit的二元码字序列。以Rb?400bits的速率传输，若已知单个码元差错概率为p?3.1?10，试计算
（1） 每个码字的差错率peW是多少？
（2） 在本题条件下，平均多少时间发生一个差错码字？
（3） 如果在码字中加上一位校验位，传输码字的速率Rw是多少（码字/秒）？
（4） 在（3）条件下，发生二个差错码字的概率是多少？发生该2位差错的平
均时间间隔是多少？
[解] （1）由于4个码元构成一个码字，所以造成错字的情况应包括发生1个、2个、3个及4个差错概率之和，即
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iipeW??C4p(1?p)4?ii?1,2,3,4。
?4p(1?p)3?6p2(1?p)2?4p3(1?p)?p4?1.24?10?4?0.57?10?8?0.119?10?12????1.24?10?4由上面计算看出，错1位码的概率最大，而其它几种错误概率与之相比可以忽略不计。
?100（码字/秒）?PeW?1(1个错字）（2）x(秒）
可解得
1041100x????80.65s
1.241001.24这一结果表明，对于一个无纠错能力的码字，在本题条件下，平均每80.65s发生一个错字。
（3）为使该码字增加抗干扰能力，而增加1位奇偶监督位。这样每个码字变成了5个码元，实际信息传输速率下降为
RW?100码字秒???4?80码字s 5?8（4）若因增加了一位监督元，信息位差错的可能被该监督元所分担一些，所以此时发生2位差错的概率一定较（1）中第二项计算值0.57?10为小，即为
P2?C52P2(1?p)3?10?(3.1)2?10?10?0.9999?9.6?10?6
需要明确，在上述情况下，可以检出1位错，通过重发可以纠错，所以这里不存在1位错。但2位差错将仍无法检出，从而也不能纠正。
此时发生一个差错码字（即近似为发生2位差错）的时间，在不考虑发生1位错而需重发，因此导致传输速率降低的实际情况时，则仍按（3）的结果即RW?80字s计算，则
y?16?1.302?10s?15天 ?980?9.6?101，但由于消除5这与（2）结果相比，说明了付出一位监督元代价后，虽然码率降低了了1位差错，错码率因而由80s错1个码字，变为15天错一个。 2. 信道编码定理 ? 带宽与功率受限的高斯信道容量——仙农公式：
SCt?Blb(1?N) 9-13
?
仙农公式是信道编码定理和差错控制定理的理论依据。
编码定理——一个具有确定（每秒）信道容量Ct的高斯信道，对于任何小于Ct的
?
信息传输Rb，总存在一种码长为n，码率为R?k的分组码，其接收解码的误差概率的上n