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码汉明距d0?（③），如欲检3位错d0（④）。奇偶校验码d0?（⑤），（n，1）重复码d0?（⑥）可纠位数（⑦）。
9.9.2（n，k）分组码特征
5. （n，k）分组码H矩阵的特征，诸如，矩阵规模为（①），列阵之间应（②），列阵必须无（③）和无（④）。标准H形式为H=（⑤）。 G矩阵特征，诸如，规模为（⑥），其中每一列（⑦），各列的对位模2和也为（⑧）。其标准形式为G=（⑨），G与H的关系为G?H?（⑩），H?G?（）。由标准H与G构成的（n，k）码称为（）。若C1为一个码字，则C1?H?（），或HC1?（）。收码伴随
T式S?（）或S?（）。若错位数不大于t，则S应为（）。在d0?2t?1情况下，若有t+1
TTTT位错则S的值为（），就错的方法是（）。
6. （4，1）重复码的码字为（①）和（②），d0?（③），可纠t?（④）位错，并且检e?（⑤）位错。（4，1）码属于（n，k）线性分组码类型，其H矩阵包括（⑥）列，且H=（⑦），而G矩阵为（⑧）列，且G=（⑨）；（4，3）码的H矩阵有（⑩）列，即H=（），共有（）个码字，每个码字的特点是均有（）个1码。因此（4，3）码字是（），（4，1）与（4，3）码的关系为（）码。
7. （7，3）与（7，4）码互为（①），若（7，3）码有一致监督矩阵和生成矩阵分别为
H(7,3)与G(7,3)，则（7，4）码H(7,4)?（②），G(7,4)?（③）。（7，3）码差错控制能力为
（④）。（7，4）码的能力为（⑤）。当有2位差错时，（7，3）码解码结果为（⑥），而（7，4）码则得到（⑦）的结果。
8. 完备码的条件是可纠错位数t（①），汉明码的t（②）。作为一个例子，（③）码属于完备码，由此条件，上可以找出t=1的（n，k）完备码如（④）码和（⑤）码等。两者是否都是汉明码（⑥）。一般（n，k）可纠t=1位错的n，k关系为(n?k)（⑦）而汉明码的(n?k)应（⑧）。
所谓“完备”的另一个直观概念是（n，k）码的H矩阵中共个（⑨）列， 该列数与信码k的关系为（⑩），即利用了（）个全部非0的（）位码元作为H矩阵列，因此H矩阵中的P矩阵的列可以随意交换，而不影响（）。
9.9.3 （n，k）循环码特征
9. 多项式除法，设F(x)?x?x?x?1，若除以N(x)?x?x，则商式q(x)?（①），余式R(x)?（②），则F(x)与R(x)为（③）关系，其前提条件是模（④）运算。这时于关
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系为F(x)?R(x)模（⑤）。
若A(x)?B(x)?C(x)，则可表示为A(x)?0模（⑥），或表示为A(x)?0模（⑦）。若一个循环码的码字C(x)可表示为C(x)?0模（⑧）。
10. （n，k）循环码的定义为（①）和（②）。若最高幂为n?k?r的多项式是(x?1)的一个因式多项式，则称为（n，k）循环码的（③），表示为（④），它是（n，k）码的一个（⑤）的码字，即它是k位信码?mi??（⑥）的码字。循环码在某码字移i位时，结果多项式中若出现x项，则应进行（⑦）运算，即（⑧）这样变化前后的关系是在（⑨）条件下的（⑩）关系。如（7，3）码C=1110100的码字多项式为C(x)?（），当左移1位后为（），要进行模(x?1)运算，即被（）去除，结果（）多项式，即移1位后的码字多项式，为（），对应码字序列为C=（）。
11. 生成多项式为g(x)?x?x?x?1的（7，3）循环码，收码多项式为。这表明，差错位在（③），R(x)?x6?x4?1，收码伴随式为S(x)?（①）及余式（②）
因此E(x)?（④）?（⑤）。由（7，3）码可纠t?（⑥）位错能力，纠错码为C(x)?R(x)?（⑦）?（⑧）码字为C=（⑨）。差错位在C(x)中的信息位即前（⑩）或幂次不低于（），则收码伴随式S(x)与误差多项式E(x)关系为（）。若在纠错能力内，S(x)应等于（）矩阵的（），可以纠错。
4327nn9.9.4 (n0,k0,N)卷积码特征
12. (n0,k0,N)卷积码的特点
n0为（①），k0为（②），N为（③），其含义为（④）。若编码其输入码元为?mi??1，则编码输出为类无限形式的（⑤），实际上等于编码器的（⑥）响应。半无限生成矩阵G?的构成是：第1列为（⑦），第2列为生成式延迟（⑧）位，以下各列均为生成式顺延（⑨）位。
13. （2，1，2）卷积码n0?2，k0?1，存储器数m?（①）。每输入1位信码，输出码段长（②）位。若mi?1时，编码序列即为半无限生成式g??（③），则半无限生成矩阵
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为G??（④）。当时，则编码序列应为?Ci??（⑤）。
当信码?mi?序列为L位长度，则该（2，1，2）卷积码输出编码序列长度为M?n0?（[⑥）+（⑦）+（⑧）]。本例当mi?1时，具体值为M?（⑨）bit。
14. 卷积码可以由3种形式表示，即（①）、（②）和（③）。其中以（④）表示形式最为完善。
对于发送的确定(n0,k0,N)卷积码序列，在网格图上有（⑤）路径，因此网格图包含了特定(n0,k0,N)卷积码序列的（⑥）群。利用网格图来解码称为（⑦）解码形式。其理论根据是（⑧）判决，具体而言就是在网格图上寻找一条与（⑨）的（⑩）距离最小的路径。该路径上的（）所对应的（）序列就是解码序列。当选留的路径在（）条时，则发生判决风险。假如错误位数超过卷积码纠错能力时，可能选留（）为条路径。但可能造成含有差错的解码。 15. TCM的含义是（①），一般是由（②）编码与（③）调制相结合，因此又称为（④）。TCM基本原理是利用多元信号的（⑤）信号星点，而无需增加（⑥），而换取（⑦）的增加，因此TCM是在（⑧）和（⑨）受限条件下改善传输性能的最佳方式。改善性能的机理在于将M元星座图按（⑩）逐段分割，使星座间自由距离（），当发送信号时则选用距离（）的星点表示发送信息。
9.10 习题
9.10.1 差错控制概念
9-1 假设一个码长为4的二进制码字，以Rb?400bit/s的速率传输，已知单个码元差错率为Pe?3.1?10。
（1）计算每个码字发生单个差错的概率是多少； （2）若在x秒内平均发生一个错误码元，求该x值；
（3）如果在4位码长的码字中增加一个偶监督位，则n?k?r?4?1。问信息比特率Rb是多少？此时，1、2位差错的概率各是多少？再计算平均发生一个不能纠正的错字时间间隔y是多少？
9-2 BSC信道错误转移概率为p?10，为了提高二元码传输可靠性，现采用?3,1?重
?4'?5发码，接收时按“后验概率择大”规则判决。 （1）有否1位差错而不能纠正的情况发生？ （2）求错码概率。
9-3 讨论利用“五中取二”等比码（利用偶监督元）的电报码的抗扰能力， （1）写出共有多少个“五中取二”码字；
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（2）最小码距d0是多少？
码 字 1110011000 （3）能否检出1位错？
1101001101（4）能检出2位差错的概率是多少？
1000011101为什么？
9-4 水平—垂直奇偶校验码（方阵码）， 0001000010如表9—4所示。 1100111011(1)在表中填写个监督位，并说明按什么 方案来发送串行码流。 （2）讨论其抗扰能力，指出其优点与缺0 监督点。 位
表9-4 水平垂直监督码
9-5 （n，k）=（4，1）重复码的许用码组数目为2?2?2，其它14组均为禁用码组，所以（4，1）码字各有3个保护位，许用码字为0000，1111。 （1） 试指出最小码距； （2） 差错控制能力如何； （3） 如果只用作检错码，可以发现码组中的几位错？ （4） 若改用（5，1）重复码，重作上述（3）。 9-6 进行下列矩阵运算：
（1）设?k1?x?y?3 ，以矩阵形式表示。
?x?y?1?110100???T（2）H?011010 ，C1?101110，C2?111011，分别求HC?？
????101001??结果含义如何。
9-7 计算“5中取3码”共有多少码组？若用来代替打字电报中的10个数字
0,1,2,??9有何干扰性？
计算“5中取3”码中可能发生多少种“双位”差错及“对换差错（即0→1及1→0成对发生）？并计算对换计算差错占双位差错的百分比；能检出的双差错率是多少？
9.10.2 （n，k）分组码
9-8 设一致校验矩阵H为
?110100???H?011010 ??
?101001???具有三个接收码组为Cr1??011101?，Cr2??101011?及
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Cr3??000011?。
（1） 验证三个接收码组是否发生差错？
（2）若在某码组中有错码，错码的校验子是什么？然后再指出发生差错的码字中，哪位有错？
9-9 矩阵运算 A??B?C? 及 D??E（1）求A?DT及D?AT。
（2）若C?I3、 D?I4 重做（1）题。 （3）若B?FT 重做（2）题。
9-10 （n，k）分组码中H与G矩阵的关系。 （1）已知H??P?（2）H?G??T?F?。
In?k?，则G????。
??????????? ???
（3）G?H??T?C4?C3?C2?0?9-11 已知（6，3）汉明变形码的监督方程为?C5?C4?C1?0 。
?C?C?C?030?5（1）给出G矩阵、H矩阵。
（2）给出7个非全0码字。 （3）d0??
（4）若收码Cr1?110011，试检验有否差错。
（5）若收码Cr2?001011，试对照你编的8个码字，进行纠错。 9-12 试将以下非典型一致监督矩阵 信息码组 码 字 ?1111111??1011100?? H???1110010????0111001?化为典型阵的表达式。
9-13 表9—5列出了?7,3?码的8个
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 码字。
（1）8个许用码组是如何选出来的？ （2）试根据线性分组码的特点，检查表中 表9-5 （7，3）码码字