2010年上海市各区高三数学二模试题分类汇编
第3部分:数列
一、选择题：
17．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科）已知无穷等比数列
?an?的前n项和
Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常数，则此无穷等比数列各项的和
是????????????????????????????????（ D ）
11?A．3． B．3． C．1． D．?1．
17. （2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟） [文科]若
an?111??????an?1n?22n（n是正整数），则n?1?an?（ C ）.
11111111????(A)2(n?1) (B)2n?2n?1 (C) 2n?12n?2n?1 (D) 2n?12n?2
二、填空题：
13．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，联结原点O与点An(n,n?3)，若用f(n)表示线段OAn上除端点外的整点个数，则f(1)?f(2)???f(2010)?______．1340 12．（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）已知无穷等比数列
?an?的前n项和
Sn?1*?a(n?N)n3，且a是常数，则此无穷等比数列各项的和等于
(用数值作答)．-1
9、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）在等差数列{an}中，满足3a4=7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n= .9
13. (上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试文科)某企业投资72万元兴建一座环保建材厂. 第1年各种经营成本为12万元，以后每年的经营成本增加4万元，每年销售环保建材的收入为50万元. 则该厂获取的纯利润达到最大值时是在第 年. 10
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14．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)已知数列
?an?满足：a1?m（m为正整数）
，
?an?,当an为偶数时，an?1??2?3an?1,当an为奇数时。a?7?若4，则m所有可能的取值为 ▲ ．56、9
11．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．介于1到200之间的所有“神秘数”之和为 ▲ ．2500 3．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟理科） 若数列
{an}满足：
a1?1,an?1?2an(n?N?)，则前6项的和
S6? .（用数字作答）63
5．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）若无穷等比数列
{an}2a1的各项和等于，
1(,1)?(1,??)则a1的取值范围是 . 2
9．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）在等比数列
?an?中，an?0，且
a1?a2???a7?a8?16，则a4?a5
的最小值为 22 .
14．（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）我们知道，如果定义在某区间上的函数
f(x)满足对该区间上的任意两个数x1、x2，总有
f(x1)?f(x2)x?x?f(12)22不等式成立，则称函数f(x)为该区间上的向上凸函数（简
称上凸）. 类比上述定义，对于数列
?an?，如果对任意正整数n，总有不等式：
an?an?2?an?1?a??a?2成立，则称数列n为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列n满足
如下两个条件： （1）数列
?an?为上凸数列，且a1?1,a10?28；
2*a?b?20b?n?6n?101?n?10,n?Nnn（2）对正整数n（），都有，其中n.
则数列
?an?中的第五项a5的取值范围为 ?13,25? .
三、解答题
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23．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
从数列{an}中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列{an}的一个子数列．
设数列{an}是一个首项为a1、公差为d(d?0)的无穷等差数列． （1）若a1，a2，a5成等比数列，求其公比q．
（2）若a1?7d，从数列{an}中取出第2项、第6项作为一个等比数列的第1项、第2项，试问该数列是否为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．
（3）若a1?1，从数列{an}中取出第1项、第m(m≥2)项（设am?t）作为一个等比数列的第1项、第2项，试问当且仅当t为何值时，该数列为{an}的无穷等比子数列，请说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
22a?aa(a?d)?aa(4d)215111?解：（1）由题设，得，即
2dad1，，得?2又d?0，于是d?2a1，
q?故其公比
a2?3a1．（4分）
q?a633?bm?a2qm?1?8d?()m?1a22，2，（6分）
（2）设等比数列为{bm}，其公比
由题设an?a1?(n?1)d?(n?6)d．
*假设数列{bm}为{an}的无穷等比子数列，则对任意自然数m(m≥3)，都存在n?N，使
an?bm，
33(n?6)d?8d?()m?1n?8()m?1?622即，得，（8分） 369n?8()5?1?6??N*22当m?5时，，与假设矛盾，
故该数列不为{an}的无穷等比子数列．（10分）
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amb2??tr?1abb?t{a}{b}t?111rnr（3）①设的无穷等比子数列为，其公比（），得，
由题设，在等差数列{an}中，
d?am?a1t?1t?1?an?1?(n?1)m?1m?1，m?1，
*因为数列{br}为{an}的无穷等比子数列，所以对任意自然数r(r≥3)，都存在n?N，使
an?br，
t?1tr?1?1r?1n?(m?1)?1?(tr?2?tr?3??t?1)(m?1)?11?(n?1)?tt?1m?1即，得，
由于上式对任意大于等于3的正整数r都成立，且n，m?1均为正整数， 可知tr?2?tr?3??t?1必为正整数，又d?0，故t是大于1的正整数．（14分）
②再证明：若t是大于1的正整数，则数列{an}存在无穷等比子数列． 即证明无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项．
r?1b?t{b}rr在等比数列中，，
在等差数列{an}中，
d?am?a1t?1t?1?an?1?(n?1)m?1m?1，m?1，
tr?1?1?(k?1)t?1m?1，
若br为数列{an}中的第k项，则由br?ak，得
tr?1?1k?(m?1)?1?(tr?2?tr?3??t?1)(m?1)?1t?1整理得，
由t，m?1均为正整数，得k也为正整数，
故无穷等比数列{br}中的每一项均为数列{an}中的项，得证．
综上，当且仅当t是大于1的正整数时，数列{an}存在无穷等比子数列．（18分） 23、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
已知数列
{an}满足：
a1?6，
an?1?n?2an?(n?1)(n?2)n。
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dn?（1）若（2） 若
ann(n?1)，求数列{dn}的通项公式；
，（其中
mCnan?kC3n?2表示组合数），求数列
{an}的前n项和
Sn；
bn?（3）若23．解：
an(n?2)2?2n?11{}limTnTnbnnn，记数列的前项和为，求???；
（1）
an?1?n?2an?(n?1)(n?2)n
an?1an??1??dn?1?dn?1(n?2)(n?1)n(n?1)变为： （2分）
{dn}所以是等差数列，
d1?a1?3d?3?(n?1)?n?21?2，所以n （2分）
（2）由（1）得an?n(n?1)(n?2) （1分）
an?kC3n?2?k?n(n?1)(n?2)6，
k?6 （1分）
6Cn?2 即：an?n(n?1)(n?2)=（1分）
所以，
3333Sn?a1?a2?a3???an6(C3?C4?C5???Cn?2)3=（1分）
=
46Cn?3 （1分）
?n(n?1)(n?2)(n?3)4 （1分） bn?n(n?1)n?1?2n?2 （2分）
（3）
1n?211???bnn(n?1)?2n?1n?2n(n?1)?2n?1 （2分）
111111?Tn??????2(n?1)?2n?1bbbb123n利用裂项法得：= （2分）
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