2a1??s?t?2?d?a1??k?1?d?a1??k?s?t?1?d故
存
在
m?k?1s?，t?使
a1??Zm，
d---------------------------------------------------------14分 下面证明m??1。当d?0时，显然成立。
a?ap?aqa,aa对d?0，若m??1，则取p??m?2，对不同的两项1p，存在q使1，
即故
2md???m?1?d?md??q?1?d?qd?0存
在
整
数
，这与q?0,d?0矛盾，
，
使
m??1a1?m。
d--------------------------------------------------------------------16分 （充分性）若存在整数m??1使
a1?md，则任取等差数列的两项
as,at?s?t?
，于是
as?at?a1??s?1?d?md??t?1?d?a1??s?m?t?2?d?as?m?t?13,m?1?由于s?t?--------------------18分
?s?t为?m正?整数，?as?m?t?1??an?证毕.--
23．（上海市徐汇区2010年4月高三第二次模拟文科）（本题满分18分；第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题8分） 设数列
?an??n?1,2,??是等差数列，且公差为d，若数列?an?中任意（不同）两项之和
a1?4,d?2仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”. （1）若
，求证：该数列是“封闭数列”；
是否是“封闭数列”，为什么？
（2）试判断数列（3）设
an?2n?7?n?N??Sn是数列
?an?的前n项和，若公差d?1,a1?0，试问：是否存在这样的“封闭数
?111?11lim???????n??SSn?9?a??1S2列”，使；若存在，求n的通项公式，若不存在，说明理由.
23
．
（
1
）
证
明
：
an?4??n?1?2?n2?，
2?-------------------------------------------------1分
?m,n?N对任意的，有
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am?an??2m?2???2n?2??2?m?n?1??2---------------------------------------------3分
，
?m?n?1?N?ap?2p?2??an?（
2
于是，令
p?m?n?1，则有
-------------------------5分
）
?a1??5,a2??3,?a1?a2??8，
---------------------------------------------------------7分
a?7??8?n??1令
n?a1?a2??8?2n2?N?-----------------------------------------9分 所
以
数
列
an?2n?7?n?N??不是封闭数列---------------------------------------------------10分
（3）解：由?an?是“封闭数列”，得：对任意m,n?N?，必存在p?N?使
a1??n?1??a1??m?1??a1??p?1?成立----------------------------------------------------11分 于是有
a1?p?m?1n为?整数，又
?a1?0?a1是正整数-------------------------------13分
Sn(n?1)lim?1?若
a1?1则
n?2，所以
n????S?1???1?1SS??2?112n9-----------------------14分
Sn(n?3)lim?1?若
a1?2，则
n?2，
所
以
n????S?1???11SS?112n??9------------------------16分
?n?1)n?n?3?若
a1?3S?n(2a1，则
n2?2，于是
12lim?111?S?nn(n?3)，所以n????S????S?111S2n??9------------------------------------------17分
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，
；
，
。
，
，
，
综上所述，18分
a1?2,?an?n?1?n?N??，显然，该数列是“封闭数列”。----------------
20．（上海市闸北区2010年4月高三第二次模拟理科）（满分19分）本题有3小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题9分．
{a}已知定义在R上的函数f(x)和数列n满足下列条件：
?a?f(an?1)f(an)?f(an?1)?k(an?an?1) a1?a，a2?a1，当n?N且n?2时，n且．
其中a、k均为非零常数． （1）若数列
{an}是等差数列，求k的值；
bn?an?1?an(n?N?){b}（2）令，若b1?1，求数列n的通项公式；
（3）试研究数列
{an}为等比数列的条件，并证明你的结论．
说明：对于第3小题，将根据写出的条件所体现的对问题探究的完整性，给予不同的评分。 20．（1）由已知
an?f(an?1)，
f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,???)，得
an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)(n?2,3,4,???)
由数列所以，
{an}是等差数列，得
an?1?an?an?an?1(n?2,3,4,???)
an?an?1?k(an?an?1)，(n?2,3,4,???)，得k?1．?????????5分
（2）由b1?a2?a1?0，可得
b2?a3?a2?f(a2)?f(a1)?k(a2?a1)?0.
bn?an?1?an?f(an)?f(an?1)?k(an?an?1)?????kn?1(a2?a1)?0n?2且当时，
所以，当n?2时，
bna?anf(an)?f(an?1)k(an?an?1)?n?1???kbn?1an?an?1an?an?1an?an?1，?????????4分
因此，数列
{bn}是一个公比为k的等比数列．????????????????1分
{a}（3）解答一：写出必要条件，如，由（1）知，当k?1时，数列n是等差数列， {a}所以k?1是数列n为等比数列的必要条件． ????????????3分
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解答二：写出充分条件，如f(x)?2x或f(x)??2x等，并证明 ?????? 5分 解答三：
{an}是等比数列的充要条件是f(x)?kx(k?1)????????2分
充分性证明：
a?f(an?1)(n?2,3,4,???)若f(x)?kx(k?1)，则由已知a1?a?0，n得 an?kan?1(n?2,3,4,???)
所以，
{an}是等比数列．???????????????????????2分
必要性证明：若
{an}bn?kn?1(a2?a1)(n?N?)是等比数列，由（2）知，
，
b1?b2?????bn?1?(a2?a1)?(a2?a1)?????(an?an?1)?an?a1(n?2)an?a1?(b1?b2?????bn?1)． ????????????????1分
a?a1?(a2?a1)(n?1)(n?2)当k?1时，n．
上式对n?1也成立，所以，数列
{an}的通项公式为：
an?a?(f(a)?a)(n?1)(n?N?)．
{a}所以，当k?1时，数列n是以a为首项，f(a)?a为公差的等差数列．
所以，k?1．??????????????????????????1分
1?kn?1an?a1?(a2?a1)1?k(n?2)． 当k?1时，
上式对n?1也成立，所以，
1?kn?1f(a)?a(f(a)?a)kn?1an?a?(f(a)?a)?a??1?k1?k1?k????????1分
a?所以，
f(a)?a?0?f(a)?ka． ????????????????1分 1?k即，等式f(a)?ka对于任意实数a均成立．
所以，f(x)?kx(k?1)．???????????????????????1分 23. （2010年4月上海杨浦、静安、青浦、宝山四区联合高考模拟）（本题满分18分）本
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题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分． 定义：如果数列
?an?的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，?a?“三角形”
则称n为
?an?，如果函数y?f(x)使得bn?f(an)仍为一个“三角形”
数列．对于“三角形”数列
?a?数列，则称y?f(x)是数列n的“保三角形函数”，(n?N*).
(1)已知
?an?是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)?kx,(k?1)是数列?an?的“保
?cn?的首项为2010，Sn是数列?cn?的前n项和，且满足4Sn?1?3Sn?8040，
三角形函数”，求k的取值范围； (2)已知数列证明
?cn?是“三角形”数列；
?cn?的“保三角形函数”?c?，问数列n最多有多少项．
(3) [文科] 若g(x)?lgx是(2)中数列
2h(x)??x?2x，x?[1,A]，1?d，[理科] 根据“保三角形函数”的定义，对函数和数列1，
1?2d，（d?0）提出一个正确的命题，并说明理由.
23． (1)显然即
an?n?1，
an?an?1?an?2对任意正整数都成立，
?an?是三角形数列． ?? 2分
f(an)?f(an?1)?f(an?2)????k?1?52.
，由
因为k>1，显然有
f(an)?f(an?1)?f(an?2)得
kn?kn?1?kn?2，解得
k?(1,所以当(2) 由
1?5)x?a?f(x)?k2时，是数列n的“保三角形函数”. ?? 5分
得
4Sn?1?3Sn?8040n?14Sn?3Sn?1?8040,两式相减得
4cn?1?3cn?0
?3?cn?2010???4?所以，
，
经检验，此通项公式满足
4Sn?1?3Sn?8040cn?1?cn?2 ??7分
nn?1显然
cn?cn?1?cn?2，因为
?3??3??2010???2010???4??4?21?3???2010??16?4?n?1?cn，
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