高三数学数列专题复习
数列历来是高考重点考查的章节，可能出较简单的题目，也可能出很难的题目．尤其是近几年来，很多高考试卷以数列题为压轴题，数列难题频频出现，给考生和中学数学教学带来很大压力．为了适应高考这一新形势，在教学中，尤其是进入第二轮复习以后，如何讲解或强化训练，使学生能够更熟练地解数列题，甚至是数列难题，很值得研究．
一. 基本性质
1. 一般数列的通项an与前n项和
2. 等差数列的通项公式：an=a1+（n－1）d an=ak+（n－k）d （其中a1为首项、ak为已知的第k项） 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数 ?S1(n?1)?Sn的关系：an=?Sn?Sn?1(n?2)
3. 等差数列的前n项和公式：Sn=
nan?n(n?1)d，当2na1?n(n?1)d； 2n(a1?an)Sn=； 2Sn=d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为
0；当d=0时（a1≠0）， Sn=na1是关于n的正比例式 4. 等差数列的通项an与前n项和
a?b等差中项公式：A=2
S2n?1Sn的关系：an=2n?1
5. （有唯一的值）
6. 等比数列的通项公式： an= a1 qn－1 an= ak qn－k （其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0）
7. 等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 （是关于n的正比例式）；
当q≠1
a1(1?qn)时，Sn=1?q
a1?anqSn=1?q
8. 等比中项公式：G=?ab （ab>0，有两个值） 9. 等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、
S2m－Sm、S3m－S2m、S4m － S3m、……仍为等差数列 10. 等差数列{an}中，若m+n=p+q，则am?an?ap?aq
11. 等比数列{an}中，若m+n=p+q，则am?an?ap?aq 12. 等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、
S2m－Sm、S3m－S2m、S4m － S3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为－1的情况除外） 13. 两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an－bn}仍为等差数列 14.
?an???两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{an?bn}、?bn?、
?1????bn?仍为等比数列 15. 等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16. 等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列 17. 三个数成等差的设法：a－d，a，a+d；四个数成等差的设法：a－3d，a－d，，a+d，a+3d
18. 三个数成等比的设法：a/q，a，aq；四个数成等比的错误设
法：a/q3，a/q，aq，aq3 （因为其公比为q2>0，对于公比为负的情况不能包括）
19. {an}为等差数列，则?ca?（c>0）是等比数列
20. {bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} （c>0且c?1） 是等差数列
二,例题选讲
（一）等差等比数列的有关性质
n
例题1．（2012湖北理）（本小题满分12分）
已知等差数列{a}前三项的和为?3，前三项的积为8.
n（Ⅰ）求等差数列{a}的通项公式；
n（Ⅱ）若a，a，a成等比数列，求数列{|a|}的前n项和.
231n解析：（Ⅰ）设等差数列{a}的公差为d，则an2?a1?d，a3?a1?2d，
由题意得??3a1?3d??3,?a1(a1?d)(a1?2d)?8. 解得??a1?2,?d??3,或??a1??4,?d?3.
所以由等差数列通项公式可得
a?2?3(n?1)??3n?5，或a??4?3(n?1)?3n?7.
故a??3n?5，或a?3n?7. （Ⅱ）当a??3n?5时，a，a，a分别为?1，?4，2，不成等比数列；
当a?3n?7时，a，a，a分别为?1，2，?4，成等比数列，满足条件.
nnnnn231n231故|an|?|3n?7|???n?3n?7,n?1,2,
3n?7,n?3.?
n记数列{|a|}的前n项和为S.
当n?1时，S?|a|?4；当n?2时，S当n?3时，
112?|a1|?|a2|?5；
Sn?S2?|a3|?|a4|???|an|?5?(3?3?7)?(3?4?7)???(3n?7)
(n?2)[2?(3n?7)]3211?n?n?10. 当n?2时，满足此式.
222n?1,?4,?综上，Sn??3211
n?n?10,n?1.??22?5?
例题2．（2012广东文）（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和sn，数列?sn?的前n项和为?Tn?，满足
Tn?2Sn?n2,n?N*．
（1）求a1的值；
(2)求数列?an?的通项公式． 解：(1):a1?2a1?12 a1?1
Tn?2Sn?n2???①
②
Tn?1?2Sn?1?(n?1)2???①-②得：
Sn?2an?2n?1
……………… ③
在向后类推一次
Sn?1?2an?1?2(n?1)?1……… an?2an?2an?1?2 an?2an?1?2
④ ③-④得：
an?2?2(an?1?2)
为公比的等比数列
{an?2}是以a1?2?3,为首项,2
?an?2?3?2n?1?an?3?2n?1?2
例题3. 已知数列?an?的前三项与数列?bn?的前三项对应相同，且
a1?2a2?22a3?...?2n?1an?8n对任意的n?N*都成立，数列bn?1?bn??是等
差数列.
⑴求数列?an?与?bn?的通项公式；
⑵是否存在k?N?，使得bk?ak?(0,1)，请说明理由.
n?12n?12an?前?a?2a?2a?...?2a?8n点拨：（1）12左边相当于是数列3nSn项和的形式，可以联想到已知Sn求an的方法，当n?2时，
n?Sn?1?an.
（2）把bk?ak看作一个函数，利用函数的思想方法来研究
bk?ak的取值情况.
解：（1）已知a1?2a2?22a3?…?2n?1an?8n(n?N*）①
2n?2n?2时，a1?2a2?2a3?…?2an?1?8(n?1)(n?N*）②
①－②得，2n?1an?8，求得an?2， 在①中令n?1，可得得a1?8?24?1， 所以an?24?n4?n(n?N*）.
由题意b1?8，b2?4，b3?2，所以b2?b1??4，b3?b2??2， ∴数列{bn?1?bn}的公差为?2?(?4)?2， ∴bn?1?bn??4?(n?1)?2?2n?6，
bn?b1?(b2?b1)?(b3?b2)???(bn?bn?1)
?(?4)?(?2)???(2n?8)?n2?7n?14(n?N*）.
（2）bk?ak?k2?7k?14?24?k， 当k?4时，
77f(k)?(k?)2??4?k242单调递增，且f(4)?1，
所以k?4时，f(k)?k2?7k?14?24?k?1，
又f(1)?f(2)?f(3)?0，
所以，不存在k?N*，使得bk?ak?(0,1).
例4.已知数列{a}满足ann1?1,an?1?2an?1(n?N?)．
（1）求数列{a}的通项公式； （2）若数列{b}满足4nb1?1b2?14?4bn?1?(an?1)n(n?N?)，证明：{bn}是等
b差数列；
1a??（3）证明：n23a12?aa2n???n?(n?N?)． a3an?12解：（1）∵an?1?1?2(an?1)，∴an?1?(a1?1)?2n?1?2n，∴an?2n?1．
b1?b2???bn?n（2）方法1：∵4∴
?2nbn，∴2(b?b12???bn)?2n?nbn，
2(b1?b2???bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1(n?2)，两式相减得
2bn?2?nbn?(n?1)bn?1，
即(n?2)bn?2?(n?1)bn?1(n?2)，∴(n?3)bn?1?2?(n?2)bn?2(n?3)，两式相减，得
(n?2)bn?(n?3)bn?1?(n?1)bn?1?(n?2)bn?2，即(n?2)(bn?bn?2)?2(n?2)bn?1(n?3)，
即bn?bn?2?2bn?1，即bn?bn?1?bn?1?bn?2(n?3)，∴数列{bn}为等差数列．