（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式； （Ⅱ）设{xn}的前n项和为Sn，求sinSn。 【解析】（I）f(x)?
x12??sinx?f?(x)??cosx?0?x?2k??(k?Z) 2232?2? f?(x)?0?2k???x?2k??(k?Z)
332?4? f?(x)?0?2k???x?2k??(k?Z)
332? 得：当x?2k??(k?Z)时，f(x)取极小值
32? 得：xn?2n??
32?（II）由（I）得：xn?2n??
3
Sn?x1?x2?x3???xn?2?(1?2?3???n)?2n?2n??n(n?1)??33
当n?3k(k?N*)时，sinSn?sin(?2k?)?0 当n?3k?1(k?N*)时，sinSn?sin 当n?3k?2(k?N*)时，sinSn?sin 得： 当n?3k(k?N*)时，sinSn?0 当n?3k?1(k?N*)时，sinSn? 当n?3k?2(k?N*)时，sinSn??
例题15. (2012广东理)（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和为Sn，满足2Sn?an?1?2n?1+1，n?N?,且
3 23 22?3 ?324?3 ??32a1,a2?5,a3成等差数列。
（1） 求a1的值； （2）求数列?an?的通项公式。 （3） 证明：对一切正整数n，有解：（1）由2Sn?an?1?2n?1?1,
令n?2有 2?a1?a2??a3?7，又 2?a2?5??a1?a3
1113???????. a1a2an2? a1?1
（2）
2Sn?an?1?2n?1?1 2Sn?1?an?2n?1
○1
○2
由○1-○2有 2a?a?a?2n nn?1n? an?1?3an?2n
?
bn?1?an?13an2n??2n?12n?12n?1 令
an?bn则 2n31bn? 22n 即
32bn?1?13?， bn?12
b1?a11? 22
??b???1?为公比为
的等比数列。
?3?????2?n?3?bn?1??b1?1????2?a?3?bn????1?n2n?2?nnn?1
? a?3n?2n
（3）an?3n?1?3n?2n?3n?1?2?3n?1?2n?1??0，n?N? ? an?3n?1 即
11?n?1an3
?
1111113?1?3???????1??2?????n??1?n?? a1a2an332?3?23?
1113??????? a1a2an2例题16. （2012广东理）（本小题共14分）
数列?an?满足a1=2，an?1=2?4?an2,数列{bn}定义为：bn=2n?1an,n∈N?.
（1）求数列?an?的通项公式； （2）证明：bn<7, n∈N? 解：（１）设a1?2sin,则
4?
a2?2?4?4sin2?4?2?2cos?4?2(1?cos?4?4sin2?23?2sin?23
若ak?2sin?2k?1，则由递推关系知
?2k?1?2sin ak?1?2?2cos?2k?2
所以，?an?的通项公式
an?2sin?2n?1(n?N?) ?2n?2sin（２）由（１）知，bn因为0?x?证明）
所以bn
?2n?2sin?2n?1(n?N?)，于是
?2时，sinx ?2?2n?1?2n?2??2n?1?2??7 证毕. 例题17（2012山东理）（本小题满分12分） 在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间（9m，92m）内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm。 解析：（Ⅰ）由a3+a4+a5=84，a5=73可得3a4?84,a4?28,而a9=73，则5d?a9?a4?45,d?9，a1?a4?3d?28?27?1， 于是an?1?(n?1)?9?9n?8，即an?9n?8. （Ⅱ）对任意m∈N﹡，9m?9n?8?92m，则9m?8?9n?92m?8， 即9m?1?88?n?92m?1?，而n?N*，由题意可知bm?92m?1?9m?1， 99于是Sm?b1?b2???bm?91?93???92m?1?(90?91???9m?1) 9?92m?11?9m92m?1?99m?192m?1?10?9m?192m?1?19m???????21?9808808081?992m?1?19m?即Sm?808， .