6(1?2n)??(3n?1)?2n?1?2??(3n?4)?2n?1?8. 1?2 所以Tn?8?(3n?4)?2n?1，而当n?2时，an?1bn?1?(3n?4)?2n?1 所以Tn?8?an?1bn?1,n?N?,n?2 .
例题10. （2012江西文）（本小题满分12分）
已知数列|an|的前n项和Sn?kcn?k（其中c，k为常数），且a2=4，a6=8a3 （1）求an；
（2）求数列{nan}的前n项和Tn。
【解析】(1)当n?1时，an?Sn?Sn?1?k(cn?cn?1) 则an?Sn?Sn?1?k(cn?cn?1)
a6?k(c6?c5)，a3?k(c3?c2)
a6c6?c5∴c=2.∵a2=4，即k(c2?c1)?4，解得?32?c3?8，
a3c?ck=2，∴an?2n（n）1）
当n=1时，a1?S1?2 综上所述an?2n(n?N*) (2) nan?n2n，则
Tn?2?2?22?3?23???n2n(1)2Tn?1?2?2?2?3?2???(n?1)2?n2234nn?1(2)（1）-（2）得
?Tn?2?22?23???2n?n2n?1 Tn?2?(n?1)2n?1
(二)数列性质的简单应用
例题11、（2012江苏卷）已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满
足：an?1?an?bn22an?bn,n?N*
(1) 设bn?1?1?bn,n?N*，求证：{(n)2}是等差数列；
anban(2) 设bn?1?2?bn,n?N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值 an解(1)由题设知an?1?an?bnan?bn221??1?(bnanan2)bn?b1?(bn2)an
所以
bn?1bn2?1?()an?1an从而(bn?12bn2)?()?1(n?N*) an?1an所以数列?(?bn2?)?是公差为a?n?1的等差数列.
(an?bn)222?an?bn?(an?bn)2 (2)因为an?0,bn?0,所以
2从而1?an?1?an?bnan?bn22?2 ??(*)
设等比数列?an?的公比为q,由an?0知q?0下证q?1. 若q?1,则a1?a22时an?1?a1qn?2与(*)矛盾; ?a2?2故当n?logqqa1a21?a2?1故当n?logqa1q若0?q?1,则a1?综上,
时an?1?a1qn?1与(*)矛盾.
q?1,故an?a1(n?N*),所以1?a1?2.
又bn?1?2?bn2??bn(n?N*) ana1所以?bn?是公比为2的等比数列.
a1若a1?2则2?1,于是b1?b2?b3又由a1?a1
a1?bna1?bn22
得bn?a1?a1222?a12a1?1?2,
所以b1,b2,b3中至少有两项相同,矛盾. 所以a1?2,从而bn所以.a1?b1?2.
例题12．（2012湖南理）（本小题满分12分）已知数列?an?的各项均为正数，记A（n）=a1+a2+……+an，
B（n）=a2+a3+……+an+1，C（n）=a3+a4+……+an+2，n=1，2，……． （Ⅰ）若a1=1，a2=5，且对任意n?N?，三个数A(n),B(n),C(n)
组成等差数列，求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）证明：数列{an}是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n?N?，
三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列．
解：（Ⅰ）对任意n?N?，三个数A(n),B(n),C(n)是等差数列，所以
B(n?)A(?n)C?( nBn?a1?a1222?a12a1?1?2
即an?1?a1?an?2?a2，亦即an?2?an?1?a2?a1?4．
故数列?an?是首项为１，公差为４的等差数列．于是
an?1?(n?1)?4?4n?3.
（Ⅱ）（１）必要性：若数列?an?是公比为q的等比数列，则对任
意n?N?，有
an?1?anq．由an?0知，A(n),B(n),C(n)均大于０，于是
.an..)B(n)a2?a?3...?an?q1(a1?a?2????q， A(n)a1?a?2...?ana?a1?...?a2nq(a2?a?3?.an.?.1)a?a?4...?an? C(n)?3?2?q，
B(n)a2?a?3...?an?1a?a?2...?an?31即
B(n)C(n)＝＝q，所以三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为qB(n)A(n)的等比数列．
（２）充分性：若对任意n?N?，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比
为q的等比数列，
则B(n)?qA(n),C(n)?qB(n)．
于是C(n)?B(n)?q?B(n)?A(n)?,得an?2?a2?q(an?1?a1)，即 an?2?qan??1a?qa2．
由n?1有B(1)?qA(1),即a2?qa1，从而an?2?qan?1?0． 因为an?0，所以
an?2a2??q， an?1a1故数列?an?是首项为a1，公比为q的等比数列．
综上所述，数列?an?是公比为q的等比数列的充分必要条件是： 对任意n∈N﹡，三个数A(n),B(n),C(n)组成公比为q的等比数列．
例题13.(2012安徽理)（本小题满分13分）
2 数列{xn}满足：x1?0,xn?1??xn?xn?c(n?N*)
（I）证明：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）求c的取值范围，使数列{xn}是单调递增数列。 【解析】（I）必要条件
2 当c?0时，xn?1??xn?xn?c?xn?数列{xn}是单调递减数列
充分条件
数列{xn}是单调递减数列?x1?x2??x12?x1?c?c?x12?0 得：数列{xn}是单调递减数列的充分必要条件是c?0 （II）由（I）得：C?0
①当c?0时，an?a1?0，不合题意
②当c?0时，x2?c?x1,x3??c2?2c?x2?c?0?c?1
22 xn?1?xn?c?xn?0?xn?c?1?0?x1?xn?c 22 xn?2?xn?1??(xn?x) ?1n)?(xn?1?xn)??(xn?1?xn)(xn?1?xn?1当c?时，xn?14c?1?xn?xn?1?1?0?xn?2?xn?1与xn?1?xn同号， 2由x2?x1?c?0?xn?2?xn?0?xn?1?xn
2 limxn?1?lim(?xn?xn?c)?limxn?c n??n??n??当c?时，存在N，使xN141??xN?xN?1?1?xN?2?xN2?1与xN?1?xN异号
与数列{xn}是单调递减数列矛盾
得：当0?c?时，数列{xn}是单调递增数列
例题14.(2012安徽文)（本小题满分13分） 设函数的数列为{xn}.
f（x）=
x214+sinx的所有正的极小值点从小到大排成