11.2.2 三角形的外角
一、新课导入
1、三角形的内角和定理： 2、填空:
(1) 在△ABC中，∠A=300，∠B=500， 则∠C＝ 。
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(2) 在直角△ABC中，其中一个锐角是50， 则另一个锐角等于 。 二、学习目标
1、探索并了解三角形的外角的两条性质 2、利用学过的定理论证这些性质
3、能利用三角形的外角性质解决实际问题 三 、研读课本
认真阅读课本的内容，完成以下练习。
（一）划出你认为重点的语句。 （二）完成下面练习，并体验知识点的形成过程。
CD，活动1、做一做，把?ABC的一边AB延长到D，得?A它不是三角形的内角，那它是三角形的什么角？ 。
定义：三角形的一边与 组成的角，叫做三角形的外角。
想一想：三角形的外角有几个？ .每个顶点处有 个外角，但它们是 。 活动2、议一议
在图1中，?ACD与?ABC的内角有什么关系？ （1）∠ACD = + ；
（2）∠ACD ∠A， ∠ACD ∠B （填“<”、“=”“>”）。 再画?ABC的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？
同学用几何语言叙述这个结论：
三角形的一个外角等于 两个内角的 ； 三角形的一个外角大于 任何一个内角。 你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？ 已知：?ACD是?ABC的外角 求证：（1）?ACD??A??B（2）?ACD??A，?ACD??B 证明：（1）因为∠A+∠B+∠ACB=180°（ ）. 所以∠A+∠B= .
又因为∠ACB+∠ACD=180°，所以∠ACD= .
所以∠ACD=∠ （ ）. （2）由（1）的证明结果可以得出： ?ACD??A，?ACD??B
想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？
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活动3、例题
如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的不同三个外角，则它们的和是多少？ 解：因为∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2= ，∠3= （ ） 所以 ∠1 + ∠2 + ∠3
= 2（ + + ）
因为 + + = 180o， 所以 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 2?180o = 360o
（三）在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？ 四、归纳小结
（一）这节课我们学到了什么？ （二）你认为应该注意什么问题？ 五、强化训练 【A】组
1、若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2、△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
3、如图2，△ABC中，点D在BC的延长线
上，点F是AB边上一点，延长CA到E， 连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是 ______ ___． 【B】组
4、 三角形的三个外角中最多有 锐角，最多有 个钝角，最多有 个直角。 5、 如图所示，则α= °．
6、 如图，∠A=55°，∠B=30°，∠C=35°，求∠D的度数． 【C】组
7、（1）如图（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
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C
58° 24° α 32° （第2题）
A
D （第3题）
B
11.3 多边形及其内角和
11.3.1 多边形
（一）引入
你能从图7.3—1中找出几个由一些线段围成的图形吗?
（二）知识点
我们学过三角形。类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。 多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形??三角形是最简单的多边形。如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。如图7.3—2，螺母底面的边缘可以设计为六边形，也可以设计为八边形。
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。图7.3—3中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E是五边形ABCDE的5个内角。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。图7.3－4中的∠l是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线（diagonal）。图7.3—5中，AC、AD是五边形ABCDE的两条对角线。
特别提醒：n边形（n≥3）从一个顶点可引出（n－3）条对角线，把n边形分割成（n
n(n?3)－2）个三角形，共有对角线条。
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例如：十边形有________条对角线。在这里n=10，就可套用对角线条数公式n(n?3)10?(10?3)??35（条）。 22
如图7.3—6（1），画出四边形ABCD的任何一条边（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图7.3—6（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC）所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似地，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节只讨论凸多边形。
我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。图7.3－7是正多边形的一些例子。
特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。
（三）练习
一起学习课本21页的练习 （四）小结
引导学生总结本节的知识点。
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11.3.2 多边形的内角和
（一）思考
三角形的内角和等于180°。正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？
（二）探究
任意画一个四边形，量出它的4个内角，计算它们的和。 再画几个四边形，量一量，算一算。你能得出什么结论?能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论? 如图7.3—8，画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360°。
从上面的问题，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗?观察图7.3—9，请填空：
从五边形的一个顶点出发，可以引_______条对角线，它们将五边形分为_______个三角形，五边形的内角和等于180°×_________。
从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将六边形分为________个三角形，六边形的内角和等于180°×__________。
通过以上问题，你能发现多边形的内角和与边数的关系吗? 一般地，怎样求n边形的内角和呢?请填空：
从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，它们将n边形分为________个三角形，n边形的内角和等于180°×______。
总结：过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，将多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形内角和180°。
所以n边形内角和（n－2）×180°。
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗?由新的分法，能得出多边形内角和公式吗?
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