受力分析如图，列方程：
y
m1g-T1 = m1 a1 β T2- m2g = m2 a2 T2 T1 (T1- T2)R=Jβ J=0.5(MR2+mr2)
m2 a1= Rβ m1 a1 a2
a2= rβ
T2 解得
m2g
m1g T1
β＝（m1gR-m2gr）/(0.5MR2+0.5mr2+m1R2+m2r2)
五、角动量守恒定律 填空题（4'）
7
1.（一般）哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近的距离是r1 = 8.75×10 km，此时它的速
4 2
率为v1 = 5.46×10m/s。它离太阳最远时的速率为v2 = 9.08×10 m/s，这时它离太阳的距离r2为
9
_____________km。5.26×10 km
2.（一般）一质量为m0，长为 l 的棒能绕通过o 点的水平轴自由转动。一质量为m，速率为
O v0 的子弹从水平方向飞来，击中棒的中点且留在棒内，则棒中点的速度为_________。 3mv04m0?3m
?v0
3.（一般）一颗子弹质量为m，速度为v ，击中一能绕通过中心的水平轴转动的轮子（看作圆盘）边缘，并
2mv?m?2m?R
嵌在轮边，轮子质量为m0 ，半径为R，则轮的角速度为________。0
4.（一般）人造地球卫星绕地球作椭圆运动，地球在椭圆的一焦点上，则卫星的动量________，动能__________，角动 量__________（填守恒或不守恒）。守恒 不守恒
计算题（10'）
1.13'（一般）轮A的质量为m，半径为r，以角速度?1转动；
轮B的质量为4m，半径为2r，套在轮A的轴上。 两轮都可视为均质圆板。将轮B移动使其与轮A接
触，若轮轴间的摩擦力矩不计，试求两轮转动的角 A 速度及结合过程中动能的损失。
B
2.（一般）一质量为m，长为 l 的棒能绕通过O 点的水平轴自由转动。开始时棒垂直悬挂。现有一质量也为m，速率为v0 的子弹从水平方向飞来，击中棒的中点又穿出棒，速率为v，棒恰好摆到水平位置。求子弹的初速率v0。
由角动量守恒 mv0
由机械能守恒 mg
得 v0?v?O ll1?mv?(ml2)? 223l1122?(ml)? 22323gl 3?v0
3.（一般）一质量为M、长为l的均匀细直杆，可绕通过其中心O且与杆垂直的光滑水平固定轴在竖直平面内转动。当杆停止于竖直位置时，质量为m的子弹沿水平方向射入杆的下端且留在杆内，并使杆摆动。若杆摆动的最大偏角为θ，且M=3m，试求： (1)子弹入射前的速率v0； (2)在最大偏角θ时，杆转动的角加速度。
M、l O ll21l22Ml)??m? (1)角动量守恒 mv0?(m? v0?l?
241221l21lMl2)?2?mg(1?cos?) 机械能守恒 (m? v0?2gl(1?cos?)
24122gsin?ll21l22Ml)??m? ??(2) 转动定律 mgsin??(m? l24122
4.（一般）一长l = 0.3 m的匀质木棒，质量M =2 kg，可绕水平轴 O 在竖直平
v0 m θ O m
v面内转动，开始时棒处于水平位置。当棒无初速地转下，运动到竖直位置时，其下端与质量m=1 kg 的小球相碰撞，碰前小球的速度v0=10 m/s，水平向右，碰后小球的速度v=4 m/s，方向水平向左，求：碰后棒的角速
2
度。(取g=10m/s)
l112??Ml2??02231212碰撞，角动量守恒 mv0l?Ml?0??mvl?Ml?
33棒下摆，机械能守恒 Mg3m(v0?v)3g
解得 ????60rad/s
Mll
5.（一般）一质量为m，长为l 的棒能绕通过O 点的水平轴自由转动。一质量为
1m，速率为3O v0的子弹从水平方向飞来，射入棒的另一端且留在棒内，使棒和子弹一起摆动。求棒的最大摆
角。
子弹射入木棒，角动量守恒，111(m)v0?l?[ml2?(m)l2]? 333v???02l?v0 木棒开始摆动，机械能守恒，112111[ml?(m)l2]?2?mgl(1?cos?)?mgl(1?cos?) 233232v0???arccos(1?)10gl
6.（一般）一长为 l 的均匀木棒，质量为 M ，可绕水平轴 O 在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量为m 的子弹以 v0 的速率从A点射入棒中，假定A点与O点的距离为 l/2，如图。求：
（1）棒开始运动时的角速度；
（2）棒与子弹间的摩擦阻力所作的功。 m o l 2(1)子弹射入木棒，角动量守恒，111mv0?l?[Ml2?m(l)2]?
2326mv0???4Ml?3mlvA l (2)由功能原理，木棒与子弹间的摩擦力所作的功等于棒与子弹的转动动能减去子弹的初动能，11112A?[Ml2?m(l)2]?2?mv0232222Mmv0 ??4M?3m
7.（一般）工程上，常采 用摩擦啮合器使两飞轮以相同的转速一起转动，如图所示。A和B两飞轮 的轴杆在
22-1
同一中心线上，设A轮的转动惯量JA=10kg·m，B轮的转动 惯量JB=20kg·m，开始时A轮的转速为600rev·min，B轮静止，C为摩擦啮合器,当C啮合时，B轮得到加速而A减速，直到两轮的转速相等为止。求：（1）两轮啮合后的转速；（2）两轮各自所受的冲量矩；（3）啮合过程中损失的机械能。
JA?A?0??JA?JB?? ??JA?A?20.9rad/s
JA?JBA
C B
IA??IB??JB???418kgm2/s?EK?12?JA?JB??2?1JA?A??1.32?104J 22
8.（一般）一长为l的均匀木棒，质量为 M ，可绕水平轴 O 在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现用一垂直于木棒的力撞击棒的下端，使木棒获得角速度，使棒从平衡位置处摆动到最大偏转角?。求：木棒的下端所受到的冲量。
O I?J?
1lJ?2?mg?1?cos?? ??22mg?1?cos??
Jl mg?1?cos??mg?1?cos??2m2gl3?1?cos?? I?J??J?J?JJ3
9.（一般）在光滑的水平面上放有质量为m的木块，木块与一 倔强系数为k的轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在点O，原长为l0，现有质量为m0的子弹以垂直于弹簧的水平方向初速v0射入木块内，如图所示。子弹射入木块后，二者一起运动到B点时，弹簧伸长为l，且OB⊥OA 。 求在B点时，木块的速度大小 。
m0v0?(m?m0)V0 (1)1112 (m?m0)V0 ?(m?m0)V2 ?k(l?l0)2 (2)222m0 由 (1)得： V0?v0m?m0?m0v0 代入(2)得： V＝??m?m0??k(l?l0)???(m?m0)?22A ?v0l0O l B
10.（一般）一长为l的均匀木棒，质量为 M ，可绕水平轴 0 在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量为m 的弹性小球以 v0 的速率在棒的下端与木棒垂直地相撞,
o
使棒从平衡位置处摆动到最大偏转角? =30，设碰撞为弹性碰撞。求：小球的初速 v0。
O 1l11Mmv0l?J??Ml2?, Mg(1?cos?)?(Ml2)?2 , v0?3gl(1?cos?)32233m
11.（一般）一半径 R = 0.1m的匀质圆盘，可绕通过盘心垂直于纸面的轴转动,转动惯量
2
为0.999kg·m。开始时圆盘静止。现有 一质量为0.1kg的粘性物质，以200m/s的速度与盘碰撞，并粘在盘的边缘上。如图所示。求碰撞后该系统的角速度为多少？
m
l vmvR?(mR2?J)?mvR???2(rad/s)2mR?J
12.（一般）长为L，质量为m的细杆可绕光滑水平轴O转动，另一质量为m的弹性小球系在轻绳一端，如图，当弹性小球从?位置静止释放，与细杆发生完全弹性碰撞后恰好静止，求轻绳的长度?。
设碰撞前小球的速度为v，由动量矩守恒,mvl=Iω
O L ??m 1212 3L 完全弹性碰撞，动能守恒,mv?I? ，解得 l=
22313.（一般）一长为 l 的均匀木棒，质量为 M ，可绕水平轴O 在竖直平面内转动，开始
时棒自然地竖直悬垂。现有质量为m 的子弹以 v 的速率从A点射入棒中，假定A点与O点的距离为 3l/4，如图。求： （1）棒开始运动时的角速度； （2）棒的最大偏转角 。
O 3l 4 m
v l A