（4）事件的积（交）：A·B或A?B“A与B同时发生”叫做A与B的积。
（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。 A·B??
（6）对立事件（互逆事件）：
“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，A A?A??，A?A??
（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。 53. 对某一事件概率的求法：
分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即 P(A)?A包含的等可能结果一次试验的等可能结果的总数?mn
（2）若A、B互斥，则P?A?B??P(A)?P(B) （3）若A、B相互独立，则P?A·B??P?A?·P?B? （4）P(A)?1?P(A)
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（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生 k次的概率：Pn(k)?Cnpkk?1?p?n?k
如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。 （1）从中任取2件都是次品；
2?C42? ?P1?2??
15C10?? （2）从中任取5件恰有2件次品；
23?C4C610?? ?P2?? 521?C10? （3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103 而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
213 ∴m?C2·46?4 3 ∴P3?C3·4·6?4103223?44125
（4）从中依次取5件恰有2件次品。 解析：∵一件一件抽取（有顺序）
5223 ∴n?A10，m?C4A5A6
∴P4?C4A5A6A105223?1021
分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。 55. 对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。 要熟悉样本频率直方图的作法： （1）算数据极差?xmax?xmin?； （2）决定组距和组数； （3）决定分点； （4）列频率分布表； （5）画频率直方图。
其中，频率?小长方形的面积?组距×频率组距
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样本平均值：x? 样本方差：S2?1n1n?x1?x2????xn
?x???x2?x??????xn?x?222???x1?
如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则组成此参赛队的概率为____________。 （C10C5C15642）
56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。
? （2）向量的模——有向线段的长度，|a|
??? （3）单位向量|a0|?1，a0???a?
|a| （4）零向量0，|0|?0
?长度相等??a?b （5）相等的向量???方向相同 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。
?????? b∥a(b?0)?存在唯一实数?，使b??a （7）向量的加、减法如图：
??? OA?OB?OC ??? OA?OB?BA
（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
??? e1，e2是平面内的两个不共线向量，a为该平面任一向量，则存在唯一
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?????实数对?1、?2，使得a??1e1??2e2，e1、e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
?? i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
?a?xi?yj，称(x，y)为向量a的坐标，记作：a??x，y?，即为向量的坐标
????表示。
设a??x1，y1?，b??x2，y2?
则a?b??x1，y1???y1，y2???x1?y1，x2?y2? ?a???x1，y1????x1，?y1? 若A?x1，y1?，B?x2，y2? ? 则AB??x2?x1，y2?y1? ? |AB|???????x2??x1???y2?y1?，A、B两点间距离公式
22 57. 平面向量的数量积
????? （1）a·b?|a|·|b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）。 ?为向量a与b的夹角，???0，??
B ???b O ? ?a
D A 数量积的几何意义：
????? a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积。
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（2）数量积的运算法则
???? ①a·b?b·a
??????? ②(a?b)c?a·c?b·c
③a·b??x1，y1?·?x2，y2??x1x2?y1y2
???????? 注意：数量积不满足结合律(a·b)·c?a·(b·c) （3）重要性质：设a??x1，y1?，b??x2，y2?
?????? ①a⊥b?a·b?0?x1·x2?y1·y2?0
?????????? ②a∥b?a·b?|a|·|b|或a·b??|a|·|b|
??? ?a??b（b?0，?惟一确定） ?x1y2?x2y1?0
?2? ③a?|a|?x?y，|a·b|?|a|·|b|
??22121???? ④co?s?［练习］
a·b???x1x2?y1y2x?y·2121|a|·|b|x?y2222
?????? （1）已知正方形ABCD，边长为1，AB?a，BC?b，AC?c，则
???|a?b?c|?
答案：22
（2）若向量a??x，1?，b??4，x?，当x? 答案：2
??????时a与b共线且方向相同
（3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a?3b|? 答案：13 58. 线段的定比分点
o??
设P1?x1，y1?，P2?x2，y2?，分点P?x，y?，设P1、P2是直线l上两点，P点在
??l上且不同于P1、P2，若存在一实数?，使P1P??PP2，则?叫做P分有向线段
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