?P1P2所成的比（??0，P在线段P1P2内，??0，P在P1P2外），且
x1??x2x1?x2??x?x?????1??2 ? ，P为P1P2中点时，??y?y1??y2?y?y1?y2??1??2?? 如：?ABC，A?x1，y1?，B?x2，y2?，C?x3，y3? 则?ABC重心G的坐标是???x1?x2?x33，y1?y2?y3?? ?3 ※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？ 平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线???线∥面???面∥面 ????线⊥线???线⊥面???面⊥面????
线∥线???线⊥面???面∥面判定性质 线面平行的判定：
a∥b，b?面?，a???a∥面?
a b ??
线面平行的性质：
?∥面?，??面?，????b?a∥b 三垂线定理（及逆定理）：
PA⊥面?，AO为PO在?内射影，a?面?，则 a⊥OA?a⊥PO；a⊥PO?a⊥AO
O a P ??
线面垂直：
a⊥b，a⊥c，b，c??，b?c?O?a⊥?
31
a O α b c
面面垂直：
a⊥面?，a?面???⊥?
面?⊥面?，????l，a??，a⊥l?a⊥?
α a l β
a⊥面?，b⊥面??a∥b 面?⊥a，面?⊥a??∥?
a b ??
60. 三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°
（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° ?＝0时，b∥?或b??
o 32
（3）二面角：二面角??l??的平面角?，0o???180o
（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法：
①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 ［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。 证明：cos??cos?·cos?
A θ O B β ????????????????????????C? D α
（?为线面成角，∠AOC=?，∠BOC=?）
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角； ②求异面直线BD1和AD所成的角；
33
③求二面角C1—BD1—B1的大小。
D1 C1 A1 B1 H G D C A B
（①arcsin34；②60；③arcsino63）
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
P F D C A E B
（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB的交线??）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。 将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则： （1）点C到面AB1C1的距离为___________； （2）点B到面ACB1的距离为____________； （3）直线A1D1到面AB1C1的距离为____________； （4）面AB1C与面A1DC1的距离为____________； （5）点B到直线A1C1的距离为_____________。
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D C A B D1 C1 A1 B1
62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？ 正棱柱——底面为正多边形的直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中： Rt?SOB，Rt?SOE，Rt?BOE和Rt?SBE 它们各包含哪些元素？ S正棱锥侧? V锥?1312C·h'（C——底面周长，h'为斜高）
底面积×高
63. 球有哪些性质？
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面r?R?d22
（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此，要找球心角！ （3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。
（4）S球?4?R，V球?243?R
3 （5）球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。
如：一正四面体的棱长均为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面
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