y0?f(x0),曲线y?f(x)在点P(x0 , y0)处的切线为
y?y0?f/(x0)(x?x0) ,
即y?y0?f/(x0)(x?x0),所以g(x)?y0?f/(x0)(x?x0) 直接计算得g(x)?x0x?12xx0?(2a?1)x?(a2?a)(lnx0??1) , 2x01xx(x?x0)2?(a2?a)(ln??1)?0 2x0x0直接计算得f(x)?g(x)等价于
记h(x)?1xx(x?x0)2?(a2?a)(ln??1),则 2x0x0211a2?ah(x)?(x?x0)?(a?a)(?)?(x?x0)(1?)
xx0xx0/若a2?a?0,则由h(x)?0,得x?x0 ,且当0?x?x0时,h(x)?0,当x?x0时,h(x)?0 ,所以h(x)在x?x0处取得极小值,从而也是最小值,即h(x)?h(x0)?0,从而f(x)?g(x)恒成立 .
///a2?a若a?a?0,取x0?a?a,则h(x)?(x?x0)(1?)?0且当x1?x0时
xx022/h/(x)?0,h(x)单调递增 ,所以当0?x?x0时,h(x)?h(x0)?0,与f(x)?g(x)恒成立矛盾,
所以a2?a?0 ,从而a的取值范围为?1?a?0
错误！未指定书签。．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)
已知函数f?x??ln?x?a??x?x在x?0处取得极值.
2(1)求实数a的值;
5x?b在区间?0,2?上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围; 234n?1(3)证明:对任意的正整数n,不等式2?????2?ln?n?1?都成立.
49n(2)若关于x的方程f?x???【答案】(本小题主要考查导数、函数的单调性、不等式、最值、方程的根等知识,考查化归转化、
分类讨论、数形结和的数学思想方法,以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能
力)
解:(1)f'?x??1?2x?1, zxxk x?a?x?0时,f?x?取得极值, ?f'?0??0, [来源:学科网ZXXK]
故
1?2?0?1?0,解得a?1.经检验a?1符合题意 0?a2(2)由a?1知f?x??ln?x?1??x?x,
53x?b,得ln?x?1??x2?x?b?0, 2235令??x??ln?x?1??x2?x?b,则f?x???x?b在区间?0,2?上恰有两个不同的实数根等价
22由f?x???于??x??0在区间?0,2?上恰有两个不同的实数根
?'?x??13??4x?5??x?1??2x??,
x?122?x?1?'当x??0,1?时,??x??0,于是??x?在?0,1?上单调递增; 当x??1,2?时,??x??0,于是??x?在?1,2?上单调递减
'???0???b?0?3?依题意有???1??ln?1?1??1??b?0,
2?????2??ln?1?2??4?3?b?01解得,ln3?1?b?ln2?.
2(3) f?x??ln?x?1??x?x的定义域为xx??1,由(1)知f'?x??2???x?2x?3?,
x?1??令f'?x??0得,x?0或x??3(舍去), 2?当?1?x?0时, f'?x??0,f?x?单调递增;
当x?0时, f'?x??0,f?x?单调递减.
?f?0?为f?x?在??1,???上的最大值. ?f?x??f?0?,故ln?x?1??x2?x?0(当且仅当x?0时,等号成立)
对任意正整数n,取x?得,ln?1?0 n?1?11?1???2, n??nn?n?1?n?1?ln???2.
?n?n
故2?34n?134n?1????2?ln2?ln?ln???ln?ln?n?1?. 49n23n错误！未指定书签。．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知
二次函数f?x??x2?ax?m?1,关于x的不等式f?x???2m?1?x?1?m2
的解集为m,m?1,其中m为非零常数.设gx(1)求a的值;
?????f?x?x?1.
(2)k(k?R)如何取值时,函数?x?gx?klnx?1存在极值点,并求出极值点;
*(3)若m?1,且x?0,求证:?g?x?1???gxn?1?2n?2N). (n???n????????【答案】(本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基
础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1)解:∵关于x的不等式f?x????2m?1?x?1?m2的解集为?m,m?1?,
22即不等式x?a?1?2mx?m?m?0的解集为m,m?1,
???22∴x?a?1?2mx?m?m?x?m???????x?m?1?.
???222∴x?a?1?2mx?m?m?x?2m?1x?mm?1.
?∴a?1?2m??2m?1. ∴a??2
??x2?2x?m?1m???x?1??(2)解法1:由(1)得g?x??.
x?1x?1x?1∴?xf?x????g?x??kln?x?1???x?1??m?kln?x?1?的定义域为?1,???. x?1∴??(x)?1?m?x?1??22x2??2?k?x?k?m?1k ??2x?1?x?1?2方程x?2?kx?k?m?1?0(*)的判别式
?Δ??2?k??4?k?m?1??k2?4m
①当m?0时,Δ?0,方程(*)的两个实根为x1?2?k?2k2?4m?1,
x2?
2?k?2k2?4m?1,
则x?1,x2时,??(x)?0;x?x2,??时,??(x)?0. ∴函数?x在1,x2上单调递减,在x2,??上单调递增. ∴函数?x有极小值点x2
②当m?0时,由Δ?0,得k??2?m或k?2?m, ????????????若k??2?m,则x1?故x2?k?2k2?4m?1,x2?2?k?2k2?4m?1,
??1,???时,??(x)?0
∴函数?x在1,??上单调递增. ∴函数?x没有极值点
??????若k?2?m时,x1?2?k?2k2?4m?1,x2?2?k?2k2?4m?1,
则x?1,x1时,??(x)?0;x?x1,x2时,??(x)?0;x?x2,??时,??(x)?0. ∴函数?x在1,x1上单调递增,在x1,x2上单调递减,在x2,??上单调递增. ∴函数?x有极小值点x2,有极大值点x1
综上所述, 当m?0时,k取任意实数, 函数?x有极小值点x2; 当m?0时,k?2?m,函数?x有极小值点x2,有极大值点x1 (其中x1?????????????????????2?k?2k2?4m, x2?2?k?2k2?4m) x2?2x?m?1m???x?1??解法2:由(1)得g?x??.
x?1x?1x?1∴?xf?x????g?x??kln?x?1???x?1??m?kln?x?1?的定义域为?1,???. x?1∴??(x)?1?m?x?1??2x2??2?k?x?k?m?1k ??2x?1?x?1?若函数?x???g?x??kln?x?1?存在极值点等价于函数??(x)有两个不等的零点,且
至少有一个零点在1,??上
?
令??(x)?x2??2?k?x?k?m?1?x?1??2?0,
2得x?2?kx?k?m?1?0, (*) [来源:学&科&网]
?则Δ?2?k??2?4?k?m?1??k2?4m?0,(**)
方程(*)的两个实根为x1?设hx2?k?2k2?4m, x2?2?k?2k2?4m. ???x2??2?k?x?k?m?1,
①若x1?1,x2?1,则h1??m?0,得m?0,此时,k取任意实数, (**)成立. 则x?1,x2时,??(x)?0;x?x2,??时,??(x)?0. ∴函数?x在1,x2上单调递减,在x2,??上单调递增. ∴函数?x有极小值点x2
???????????????h?1???m?0,?m?0,?②若x1?1,x2?1,则?2?k得?
?1.?k?0.??2又由(**)解得k?2?m或k??2?m, 故k?2?m.
则x?1,x1时,??(x)?0;x?x1,x2时,??(x)?0;x?x2,??时,??(x)?0. ∴函数?x在1,x1上单调递增,在x1,x2上单调递减,在x2,??上单调递增. ∴函数?x有极小值点x2,有极大值点x1
综上所述, 当m?0时,k取任何实数, 函数?x有极小值点x2; 当m?0时,k?2?m,函数?x有极小值点x2,有极大值点x1 (其中x1?????????????????????2?k?2k2?4m, x2?2?k?2k2?4m) (2)证法1:∵m?1, ∴gx????x?1??1. x?1