a2?22ax(x?)2ax2?a2x?2xa|2a??r(x)?2x?a?ax?1ax?1ax?1所以 a2?2a1211?????a?(1,2)2a222 因为,所以2a11x?(,??)x0?[,1]22时, 所以当时,r(x)是增函数,所以当r(x0)max?r(1)?1?a?lna?12,a?(1,2)
所以,要满足题意就需要满足下面的条件:
1?a?lna?1a?1?k(1?a2)?(a)?1?a?ln?k(1?a2)22,令,a?(1,2)
即对任意a?(1,2),
/?(a)?1?a?lna?1?k(1?a2)?0恒成立 212ka2?2ka?aa?(a)??1??2ka??(2ka?2k?1)a?1a?1a?1因为
分类讨论如下:
(1)若k?0,则
?/(a)??aa?1,所以?(a)在a?(1,2)递减,
此时?(a)??(1)?0不符合题意
(2)若k?0,则
?/(a)?2ka1(a??1)a?12k,所以?(a)在a?(1,2)递减,
此时?(a)??(1)?0不符合题意.
(3)若k?0,则
?/(a)?2ka111(a??1)?1?1?1a?12k,那么当2k时,假设t为2与2k中较小的一个
t?min{2,数,即意.
11?1}(1,min{2,?1})?(a)2k2k,则在区间上递减,此时?(a)??(1)?0不符合题
?k?0??111?1?1k?[,??)?2k?k44综上可得解得,即实数的取值范围为
错误！未指定书签。．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD版））已知函数
f(x)??x3?x2?bx,g(x)?alnx,(a?0).
(1)若f(x)存在极值点,求实数b的取值范围;
(3)当b=0时,令F(x)???f(x),x?1.P(x1,F(x1)),Q(x2,F(x2))为曲线y=F(x)上的两动点,O为坐
?g(x),x?1标原点,请完成下面两个问题:
①能否使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边中点在y轴上?请说明理由. ②当1 【答案】 错误！未指定书签。．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设函数 1fn(x)?xn(1?x)2在[,1]上的最大值为an(n?1,2,?). 2(1)求a1,a2的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对任意n?N(n?2),都有an? *1成立. 2(n?2) 【答案】解:(1)解法1:∵fn'(x)?nxn?1(1?x)2?2xn(1?x)?xn?1(1?x)[n(1?x)?2x] 当n?1时,f1'(x)?(1?x)(1?3x) 当x?[,1]时,f1'(x)?0,即函数f1(x)在[,1]上单调递减, ∴a1?f1()?1212121, 8当n?2时,f2'(x)?2x(1?x)(1?2x) 当x?[,1]时,f2'(x)?0,即函数f2(x)在[,1]上单调递减, ∴a2?f2()?1212121 16【解法2:当n?1时,f1(x)?x(1?x)2,则f1'(x)?(1?x)2?2x(1?x)?(1?x)(1?3x) 当x?[,1]时,f1'(x)?0,即函数f1(x)在[,1]上单调递减,∴a1?f1()?1212121, 8当n?2时,f2(x)?x2(1?x)2,则f2'(x)?2x(1?x)2?2x2(1?x)?2x(1?x)(1?2x) 1】 16nn11n?[,1]且当x?[,)时fn'(x)?0,(2)令fn'(x)?0得x?1或x?,∵当n?3时, n?2n?222n?2n,1]时fn'(x)?0, 当x?(n?2nn?3x?故在处取得最大值,即当fn(x)n?2当x?[,1]时,f2'(x)?0,即函数f2(x)在[,1]上单调递减,∴a2?f2()?121212nnn224nn)?()()?时,an?fn(,------(?) n?2n?2n?2n?2(n?2)当n?2时(?)仍然成立, ?1,??8综上得an??n4n?.n?2?(n?2)?n?1 n?2n4n1,只需证明(1?2)n?4(3)当n?2时,要证?n(n?2)n?2(n?2)2 ∵(1?)?Cn?Cn()???Cn()?1?2?∴对任意n?N(n?2),都有an?*2nn012nn2nnn(n?1)4?2?1?2?1?4 2n1成立 (n?2)2 错误！未指定书签。．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD版）） 已知函数f(x)?ax2?bx?1在x?3处的切线方程为y?5x?8. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若关于x的方程f(x)?kex恰有两个不同的实根,求实数k的值; (3)数列?an?满足2a1?f(2),an?1?f(an),n?N?, 求S?1111的整数部分. ????????a1a2a3a2013 惠州市2013届高三第一次模拟考 【答案】解: (1) f'(x)=2ax+b, 依题设,有? ?f`(3)?5?6a?b?5,即?, ?f(3)?7?9a?3b?1?7解得??a?1 b??1??f(x)=x2?x?1 x2?x(2)方程?f(x)=ke,即x?x?1?ke,得k?(x?x?1)e, 2?xF(x)?(x?x?1)e记, ?x2?x2?x?xF'(x)=(2x?1)e?(x?x?1)e??(x?3x?2)e??(x?1)(x?2)e则 2x令F'(x)=0,得x1?1,x2?2 当x变化时,F'(x)、F(x)的变化情况如下表: 132∴当x?1时,F(x)取极小值e;当x?2时,F(x)取极大值e 2?xy?xF(x)?(x?x?1)e作出直线和函数的大致图象,可知当 k?13k?2e或e时, 它们有两个不同的交点,因此方程f(x)?kex恰有两个不同的实根, (3) 2a1?f(2)?3,得 a1?3?122,又an?1?f(an)?an?an?1. ?an?1?an?an2?2an?1?(an?1)2?0, ?an?1?an?1 由an?1??1?an2?an?1,得an?1?1=an(an?1), 1nnan?1?1a(a?1)a?1an?1?1n1,即a12?1nna?1a1?1n?1?1 11?S?1111aa??12???1a?(112013a?1a???1)?(a2?1?1a3?1)???(a2013?1?a2014?1 )?12014a?1a?1?2?1a2014?12 又 S?11aa?12?2437??2621?1 [来源:学,科,网Z,X,X,K] 即1?S?2,故S的整数部分为. l4分