??n1?1?n?gx?1?gx?1?x??x?∴? ?????n???x?x???n??n1n?1?xn?Cnx??n1111?2n?2n?1n1 ?Cnx?2???Cnx?n?1?Cn?x??nn?xxxxx??1n?22n?4n?12?n?Cnx?Cnx???Cnx
令T?Cnx1n?22n?4n?12?n?Cnx???Cnx, n?24?n1n?2?Cnx???Cnx
则T?Cnxn?12?n12?n24?nn?1n?2?Cnx?Cnx???Cnx.
∵x?0, ∴2T?Cnx1?n?22n?1?x2?n?Cnxn?4?x4?n???Cnx2?n?xn?2
?????12n?1?2xn?2?x2?n?Cn?2xn?4?x4?n???Cn?2x2?n?xn?2 ?Cn12n?1?2Cn?Cn???Cn
012n?1n0n?2Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn?Cn
??????22n?2
∴T?2?2,即?g?x?1???gxn?1?2n?2
??n?n????n1?1?n证法2:下面用数学归纳法证明不等式?x????x?n??2?2.
x?x???① 当n?1时,左边??x?n??1??1?1?x?????0,右边?2?2?0,不等式成立; x??x?k??k1?1?*k② 假设当n?k(k?N)时,不等式成立,即?x????x?k??2?2,
x?x????1?则 ?x??x??k?1?1???xk?1?k?1?
x??k??1???1?1??x????x????xk?kx???x?x??????1??k1??k?11???x?x??x? ?????k?k?1?xx??x???????k??k1???1?1???k?11???x????x????x?k????x?k?1?
x???x?x???x?????
?2x?11?2k?2?2xk?1?k?1 xx???2k?1?2
也就是说,当n?k?1时,不等式也成立. 由①②可得,对???gxn?1?2n?2都成立 gx?1n?N*,?????14n??错误！未指定书签。．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）二次函数f(x)满
足f(0)?f(1)?0,且最小值是?.[来源:Zxxk.Com] (1)求f(x)的解析式;
12图形的面积是S(t);
(2)设常数t?(0,),求直线l:y?t2?t与f(x)的图象以及y轴所围成封闭
(3)已知m?0,n?0,求证:(m?n)2?(m?n)?mn?nm.
[来源:学科网ZXXK]
【答案】解:(1)由二次函数f(x)满足f(0)?f(1)?0.设f(x)?ax(x?1)(a?0),
12141a
241?a1又f(x)的最小值是?,故??.解得a?1.
444则f(x)?ax2?ax?a(x?)2?∴f(x)?x2?x;
ｔ?1?t) (2)依题意,由x2?x?t2?t,得x?t,或x?1?t.(
由定积分的几何意义知
x3x222t3t2tS(t)??[(x?x)?(t?t)]dx?(??tx?tx)|0???
03232111(3)∵f(x)的最小值为?,故m?m??,n?n??
44411∴m?n?(m?n)??,故m?n??m?n 2211∵(m?n)?mn?0,m?n??m?n?0, 2211∴(m?n)(m?n?)?mn(m?n)?mn?nm, 2211∴(m?n)2?(m?n)?mn?nm 24t22错误！未指定书签。．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）设
g(x)?ex,f(x)?g[?x?(1??)a]??g(x),其中a,?是常数,且0???1.
(1)求函数f(x)的极值;
ex?1(2)证明:对任意正数a,存在正数x,使不等式?1?a成立;
x(3)设?1,?2?R+,且?1??2?1,
证明:对任意正数a1,a2都有:a11a22??1a1??2a2.
【答案】解析:(1)∵f?(x)??g?[?x?(1??)a]??g?(x),
??由f?(x)?0得,g?[?x?(1??)a]?g?(x),
∴?x?(1??)a?x,即(1??)(x?a)?0,解得x?a, 故当x?a时,f?(x)?0;当x?a时,f?(x)?0; ∴当x?a时,f(x)取极大值,但f(x)没有极小值
ex?1ex?x?1(2)∵, ?1?xx又当x?0时,令h(x)?ex?x?1,则h?(x)?ex?1?0, 故h(x)?h(0)?0,
ex?x?1?a,即ex?(1?a)x?1?0, 因此原不等式化为
x令g(x)?ex?(1?a)x?1,则g?(x)?ex?(1?a), 由g?(x)?0得:e?1?a,解得x?ln(1?a),
当0?x?ln(1?a)时,g?(x)?0;当x?ln(1?a)时,g?(x)?0. 故当x?ln(1?a)时,g(x)取最小值g[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a),
x令s(a)?a11a?ln(1?a),a?0,则s?(a)?????0. 221?a(1?a)1?a(1?a)故s(a)?s(0)?0,即g[ln(1?a)]?a?(1?a)ln(1?a)?0. 因此,存在正数x?ln(1?a),使原不等式成立
(3)对任意正数a1,a2,存在实数x1,x2使a1?e1,a2?e2, 则a11a22?e11?e
???x?2x2xx?e?1x1??2x2,?1a1??2a2??1ex1??2ex2,
原不等式a11a22??1a1??2a2?e11???x??2x2??1ex1??2ex2,
?g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2)
由(1)f(x)?(1??)g(a)恒成立,
故g[?x?(1??)a]??g(x)?(1??)g(a), 取x?x1,a?x2,???1,1????2, 即得g(?1x1??2x2)??1g(x1)??2g(x2), 即e11?x??2x2??1ex1??2ex2,故所证不等式成立
错误！未指定书签。．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知函数
32?2??x?ax?bx,(x?1)在x?0,x?处存在极值. f(x)??x?13??c(e?1),(x?1)(1)求实数a,b的值;
(2)函数y?f(x)的图像上存在两点A,B使得?AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在y轴上,求实数c的取值范围;
(3)当c?e时,讨论关于x的方程f(x)?kx(k?R)的实根的个数.
【答案】解(1)当x?1时,
f?(x)??3x2?2ax?b.
?f?(0)?0,2?因为函数f(x)在x?0,x?处存在极值,所以?解得a?1,b?0. 2?3f()?0,??332???x?x,(x?1),(2) 由(1)得f(x)??
x?1??c(e?1),(x?1),根据条件知A,B的横坐标互为相反数,不妨设A(?t,t?t),B(t,f(t)),(t?0). 若t?1,则f(t)??t?t,
3232????????23232由?AOB是直角得,OA?OB?0,即?t?(t?t)(?t?t)?0, [来源:学科网ZXXK]
即t4?t2?1?0.此时无解;
t?1f(t)?c(e?1). 由于AB的中点在y轴上,且?AOB是直角,所以B点不可能在x轴上,t≥1若,则
????????232t?1?t?(t?t)?c(e?1)=0,即t?1OA?OB?0即. 由,即
因为函数
c?1(t?1)?et?1?1?..
y?(t?1)?et?1?1?在t?1上的值域是(0,??),
所以实数c的取值范围是(0,??).
32???x?x,(x?1)(3)由方程f(x)?kx,知kx??,可知0一定是方程的根,
x??e?e,(x?1)??x2?x,(x?1且x?0),?所以仅就x?0时进行研究:方程等价于k??ex?e
,(x?1).??x??x2?x,(x?1且x?0),?构造函数g(x)??ex?e
,(x?1),??x对于x?1且x?0部分,函数g(x)??x?x的图像是开口向下的抛物线的一部分, 当x?2111时取得最大值,其值域是(??,0)?(0,]; 244ex?eex(x?1)?e对于x≥1部分,函数g(x)?,由g?(x)??0,知函数g(x)在?1,???上单调递
xx2增. 所以,①当k?②当k?1或k?0时,方程f(x)?kx有两个实根; [来源:Z#xx#k.Com] 41时,方程f(x)?kx有三个实根; 41③当0?k?时,方程f(x)?kx有四个实根.
4错误！未指定书签。．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知a<2,
f(x)?x?alnx?a?11,g(x)?x2?ex?xex.(注:e是自然对数的底) x2(1) 求f(x)的单调区间; (2)若存在x1∈[e,e围.
2
],使得对任意的x2∈[—2,0],f(x) 1