若要求进行偶开拓就是要展开成偶函数，此时得到的展开式中只有余弦级数，图像为
。
1.7 高数第九章《矢量代数与空间解析几何》
本章并不算很难，但其中有大量的公式需要记忆，故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住本章前后知识点的联系来复习是一种有效的策略，因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆的准确性。同时，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之一。以下列出本章中前后联系的知识点：
a) 矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。这个联系很
明显，举例来说，平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直，而由矢量
x?x0关系性质知此时二矢量的数积为0，若直线方程为l为
?y?y0m?z?z0n，平面方程
Ax?By?Cz?D?0，则有Al?Bm?Cn?0。同理可对线面、线线、
面面关系进行判定。
b) 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式 为ab?|a||b|cos?????，故有cos????|a||b|??ab，这个式子是所有线线、线面、面面夹
角公式的源公式。举例来说，设直线1l:x?x1l1?y?y1m1?z?z1n1，直线
l1:x?x2l2???y?y2m2?z?z2n2，则二直线夹角??l1l2?m1m2?n1n222222l12?m1?n1?l2?m2?n2???|a||b|??ab，
其中a、b分别是两条直线的方向矢量。对于线面、面面夹角同样适用，只需注意一点就是线面夹角公式中不是
cos?????而是si?n????，因为如右图所示
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由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而平面的法矢量却
与平面垂直，所以线面夹角式的左端是sin?是两矢量夹角??的余角，即?????90?，故求夹角公
?。对于线线夹角和面面夹角则无此问题。
c) 平面方程各形式间的相互联系。平面方程的一般式、点法式、
三点式、截距式中，点法式和截距式都可以化为一般式。点法式
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0（点(x0,y0,z0)为平面上已知点，
{A,B,C}为法矢量）可变形为Ax?By?Cz?(Ax0?By0?Cz0)?0，
符合一般式
yxz?b?c?1（a,b,c为Ax?By?Cz?D?0的形式；截距式a平面在三个坐标轴上的截距）可变形为bcx?acy?abz?abc?0，也符合一般
式的形式。这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更主要是因为在考试中可能需要将这些
式子相互转化以方便答题（这种情况在历年真题中曾经出现过）。
同样，直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形式和标准式之间可以相互
?x?x0?lt?y?y0?mt?转化。直线方程的参数形式
?z?z?nt0?（
(x0,y0,z0)是平面上已知点，
{l,m,n}x?x0lx?x0l为方向矢量）可变形为
?x?lx0?t?y?y0?m?t?z?z0?t?n，即为标准式
??y?y0my?y0m??z?z0nz?z0n；标准式
x?x0l?y?y0m?z?z0n若变形为
?t则也可以转化为参数形式。这个转化在历年真题中应用过
不止一次。
d) 空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联
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系。关于这些方程的基础性知识包括：F(x,y,z)?0表示的是一个空间曲面；由于空
?F1(x,y,z)?0间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的，故空间曲面方程为?；柱
F(x,y,z)?0?2面方程如圆柱面
x2?y2?R2、椭圆柱面
x2y2?2?1可视为是二元函数2abf(x,y)?0在三维坐标系中的形式。
?f(x,y)?0在这些基础上分析，柱面方程的准线方程如?可视为是由空间曲面—
z?0?—柱面与特殊的空间曲面——坐标平面
z?0相交形成的空间曲线，即右图
中的曲线2；而空间曲线的投影方程与柱面准线方程其实
是一回事，如上图中曲线1的投影是由过曲线1的投影柱面与坐标平面相交得到的，所以也
?F1(x,y,z)?0就是图中的柱面准线。在由空间曲线方程?求投影方程时，需要先从方
F(x,y,z)?0?2程组中消去
z得到一个母线平行于z轴的柱面方程；；再与z?0联立即可得投影方程
?f(x,y,z)?0?。
z?0?
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1.8 高数第十章《多元函数微分学》
复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。本章主要内容可以整理成一个大表格：
二元函数的定义（略） 二元函数的连续性及极限： 二元函数的极限要求点路径趋向（相数的定义（略） 似 不同 一元函数的连续性及极限： 一元函数的极限与路径无关，由等价式x?x0?(x,y)以任何方向、任何P(x0,y0)时均有f(x,y)?Alimf(x)?A即可判x?x0、y?y0）。如果沿不同路径的x?x0y?y0?f?(x0)?f?(x0)?A断。 x?x0limf(x,y)不相等，则可断定limf(x,y) 相似 y?y0不存在。 二元函数z?f(x,y)在点P(x0,y0)处连续性判断条件为：x?x0一元函数y?f(x)在点x0处连续性limf(x)且等于f(x) 0limf(x,y)存在且等于判断条件为x?x0y?y0f(x0,y0) 二元函数的偏导数定义 二元函数z?f(x,y) 的偏导数定义 相似 19
一元函数的导数定义 一元函数y?f(x)的导数定义：
f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?zlim?lim?x?0?x?x?0?x段函数在分界点处求偏导数要用 偏导数的定义 二元函数的全微分： 简化定义为：对于函数分f(x0??x)?f(x0)?ylim?lim分?x?0?x?x?0?x段函数在分界点处求导数需要用导数定义 z?f(x,y)，若其在点P(x0,y0)处的增量?z可表示为 相似 一元函数的全微分： 简化定义为：若函数处的增量y?f(x)在点x可表示为?y?z?A?x?B?y?o(?)，其中o(?)为?y?A?x?d，其中d是?x的高阶无穷小，则函数在该点可微，即?的高阶无穷小，则函数f(x,y)在P(x0,y0)处可微，全微分为A?x?B?y，一般有dzdy?A?x，一般有dy?f?(x)dx ??z?x?zdx??ydy 二元函数可微、可导、连续三角关系图 连续 可导 可微 多元函数的全导数 设 不同 h(t)，不同 二元函数可微、可导、连续三角关系图 连续 可导 可微 一元函数没有“全导数”这个概念，但是左边多元函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度理解。一元复合函数是指z?f(u,v,w)，u?g(t)，v?且都可导，则w?k(t)z对t的全导数y?f(u)、u?g(x)时有dz?fdu?fdv?fdw??? dt?udt?vdt?wdt多元复合函数微分法 复合函数求导公式：设 相似 dydydu?。与左边的多元函数全导数dxdudx公式比较就可以将二式统一起来。 一元复合函数求导公式如上格所示，与多元复合函数求导公式相似，只需分清式子中z?f(u,v,w)v?h(x,y)，则、、有u?j(x,y)、dz?z与的不同即可 dx?xw?k(x,y)??z?z?u?z?v?z?w?????????x?u?x?v?x?w?x??z?z?u?z?z?z?w。对于多元??????????y?u?y?v?y?w?y
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