2.4 线代第五章《特征值和特征向量》
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点，历年考研真题都有相关题目，而且最有可能是综合性的大题。
特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容——即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。
从我们的角度来看，《特征值特征向量》这一章的内容即少且条理清晰，虽然涉及其它很多知识，但需要探究的深层次联系很少，故学好这个“必考点”实际上要比学好高数中的那些必考点如曲线、曲面积分要容易的多，这一点也是前面说复习线代这门课很划算的原因之一。本章知识要点如下：
1. 特征值和特征向量的定义及计算方法。就是记牢一系列公式如
Ax??x(x?0)、
?x?Ax?0、
(?E?A)x?0和
|?E?A|?0。在历年真题中常用到下列性质：若n阶矩阵A有n个
特征值1 征值
??2??? ?n ，则有|A|??1?2????n；若矩阵A有特
1f(?)、
?|A|、
?，则kA、A2、aA?bE、f(A)、A?1、A?分别有特?、?2征值k于
、a??b、
?，且对应特征向量等
?所对应的特征向量，而若
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?1、?2分别为矩阵A、B的特征值，
则
2.
?1??2不一定为A?B的特征值。
B?P?1AP，需要区分矩阵的相似、等
A与矩阵B等价（A?B）的定义式是PAQ?B，
A可通过初等变换化为矩阵B，并有
相似矩阵及其性质。定义式为价与合同：矩阵
其中P、Q为可逆矩阵，此时矩阵
r(A)?r(B)；当PAQ?B中的P、Q互逆时就变成了矩阵相似
（
A?B）的定义式，即有B?P?1AP，此时满足r(A)?r(B)、
|A|?|B|、|?E?A|?|?E?B|，并且A、B有相同的特征
值。矩阵合同的定义是PTAP?B，其中P为可逆矩阵。
由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若
A与B合同或相似则
A与B必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。
3.
矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两个充分条件，充要条件1是
n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量；充要条件2是A的任意k重
A有n个互不相同
特征根对应有k个线性无关的特征向量；充分条件1是的特征值；充分条件2是
4.
A为实对称矩阵。
实对称矩阵极其相似对角化。
n阶实对称矩阵A必可正交、相似于对角阵
?，即有正交阵P使得P?1AP?PTAP??而且正交阵P由A对应的几个正交的特征向量组成。
其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导的关系：以求方阵的幂但如果有矩阵
Ak作为思路的起点，直接乘来求Ak比较困难，
P使得A满足P?1AP??（对角阵）的话就简单多了，因为此时
?a??b?k?1??P?P，而对角阵???c???Ak?P?P?1?P?P?1???P?P?1? 32
的幂?k?ak?就等于???bk???代如上式即得ck??Ak。而矩阵相似对角化的定义式正是
P?1AP??。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂，引入特征
值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且P?1AP??中的P、?也分别是由A的特征向
量和特征值决定的。
以上思路在本章的地位并不重要，因为与第三、四章知识点的互联关系不同，考试时这条思路一般不会被用到。而考察线性相关和线性方程组的题目却频繁用到前面提到的各种内在联系，甚至一些题目的题眼就是小结中的某一句话。所以前面的讨论可以用来辅助理解，但对于做题时打开思路用处不大。
2.5 线代第六章《二次型》
本章内容较少，大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，对于其它知识点仅要求了解。
在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是第五章《特征值和特征向量》的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵
A存在正交矩阵P使得A可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在
A为实对称矩阵时的应用。
将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的
步骤及避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。
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3 概率部分
3.1 概率这门课的特点
与线性代数一样，概率也比高数容易，花同样的时间复习概率也更为划算。但与线代一样，概率也常常被忽视，有时甚至被忽略。一般的数学考研参考书是按高数、线代、概率的顺序安排的，概率被放在最后，复习完高数和线代以后有可能时间所剩无多；而且因为前两部分分别占60%和20的分值，复习完以后多少会有点满足心理；这些因素都可能影响到概率的复习。
概率这门课如果有难点就应该是“记忆量大”。在高数部分，公式、定理和性质虽然有很多，但其中相当大一部分都比较简单，还有很多可以借助理解来记忆；在线代部分，需要记忆的公式定理少，而需要通过推导相互联系来理解记忆的多，所以记忆量也不构成难点；但是在概率中，由大量的概念、公式、性质和定理需要记清楚，而且若靠推导来记这些点的话，不但难度大耗时多而且没有更多的用处（因为概率部分考试时对公式定理的内在推导过程及联系并没有什么要求，一般不会在更深的层次上出题）。
记得当初看到陈文灯复习指南概率部分第二章《随机变量及其分布》、第三章《随机变量的数字特征》中在每章开始列出的那些大表格时，感觉其中必然会有很多内容是超纲的、不用细看；但后来复习时才发现，可以省略不看的内容少之又少，由大量的内容需要记忆。所以对于概率部分相当多的内容都只能先死记硬背，然后通过足量做题再来牢固掌握，走一条“在记忆的基础上理解”的路。
记牢公式性质，同时保证足够的习题量，考试时概率部分20%的分值基本上就不难拿到了。
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3.2 概率第一章《随机事件和概率》
本章内容在历年真题中都有涉及，难度一般不大。虽然对于本章中的古典概型可以出很难的题目，但大纲的要求并不高，考试时难题很少。填空、选择常考关于事件概率运算的题目，大多围绕形如
P(AB)?P(AB)、
P(B|A)?P(B|A)、
P(A?B?C)这样的式子利用各种概率运算公式求解；其它内容如全概率公式和贝叶
斯公式在小题中和大题中都有可能考到。
在“概率事件的关系及运算”部分有很多公式可以借助画集合运算图来辅助做题，比
如事件
A若与事件B有包含关系B?A，则可作图
长方形内的点都属
于B的范围，圆形则代表A的范围。这样一来即易看出事件包含关系的定义“A发生时
B必发生，B发生时A不一定发生”；
事件
A与B的并A?B可作图
，则
A?B是A、B两
A就是属于B，
个圆形（包含相交部分），对于这个大图形中的任意一点来说，不是属于体现了
A?B “事件A与B至少有一个发生”的定义；同理，事件A与B的差
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