2.3 线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》
线代第三章《向量》、第四章《线性方程组》是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立， 可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。
向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1??a21x1?a22x2????a2nxn?b2的系数矩阵是m行n列的，其有两种形式，一种是?ax?ax????ax?bm22mnnn?m11矩
阵
形
式
Ax?b；其中
A是系数矩阵
?a11a12???a1n??a?aa222n??21???????aa???am2mn??m1,
?x1??x?x??2?????????xn?,
?b1??b?b??2?????????bn?；另一种是向量形式
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?a1i??a??2i?a?x1a1?x2a2?????xnan?b，其中i????? i?1,2???n。向量就这样???ani?被引入了，可能早期的数学家研究向量就是为了更好的研究解方程组的问题。
先讨论其次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组
x1a1?x2a2?????xnan?0可以直接看出是一定有解的，因为当
x1?x2?????xn?0式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向
量可由任何向量线性表示”，即当定存在一组数k1,k2??k1a1?k2a2?????knan中的??0时一
???kn使等式成立，至少在ki全为0时可以满足。
?x2a2?????xnan?0中的xi只能全
???an是否线性相关\\无关
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式x1a1为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组a1,a2也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设a1,a2在一组不为零的数k1,k2则称向量组a1,a2???an为一组向量，如果存
???kn使得等式k1a1?k2a2?????knan?0成立，
???an线性相关；如果等式当且仅当k1?k2?????kn?0时
???an线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐
成立，则称向量组a1,a2次线性方程组
Ax?0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。（这些
联系肯定不是简单的巧合，很有可能正是数学史上前后相承的发展，说不定线性相关\\无关的概念正是数学家在研究线性方程组问题的过程中发现的。其实如果按照数学发展史的进程来编制数学教科书的话，虽然逻辑性和系统性会不如现在的分章节教材，但肯定会大大方便学习者的理解和领悟，因为这更接近于人思维自然进展的节奏，非常有利于学习者认识各种概念定理的来龙去脉，而“不明白自己学的到底是什么”正是很多同学对数学感到困惑的根源。即使不能做到编制教材，也可以在教材中做一些介绍）。
假如线性相关\\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组a1,a2性无关组中有
???an组成的矩阵A有r(A)?n说明向量组的极大线
a1,a2???an27
n个向量，即线性无关，也即等式
k1a1?k2a2?????knan?0只有0解。所以，经过“秩—〉线性相关\\无关—〉
线性方程组解的判定”的逻辑链条，由
r(A)?n就可以判定齐次方程组
x1a1?x2a2?????xnan?0只有0解。当r(A)?n时，按照齐次线性方程
组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组
Ax?0的系数矩
阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有m 对于非齐次方程组来说，其解的判定定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组 Ax?b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示。线性表示的定义 a1,a2???an若存在一组数 为：对于向量组 k1,k2???kn使等式 k1a1?k2a2?????knan?b成立，则称向量b可由向量组a1,a2???an线性 表示。而使上述等式成立的ki就是非齐次方程组次线性方程组 Ax?b的解，故齐次方程组有性质“齐 Ax?0是否由非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性向关”，非齐 Ax?b是否有解对应于向量b是否可由AAx?b与对应齐次线性方程组Ax?0满 次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组足r(A)?r(A)?n时，根据线性方程组解的判定法则，齐次方程组有零解，非齐次 ???an线性无关，而 方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若a1,a2a1,a2???an,b线性相关，则向量b可由向量组a1,a2???an线性表示，且表示方 法唯一”。 以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。线代部分的学习并不容易“保持平庸”，一般不是学的很好、做起题来左右逢源、挥洒自如；就是收效欠佳、总感觉摸不准题目的脉络；其差距就在于对线性代数这门课各章节知识的联系是不是真正把握领悟了。 线代部分的题目难就难在考点的跨度大，出题老师可以借助各知识点之间天然的内在联系来编制出非常灵活的题目，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。 我记得当时上线代课时也常常是听的一头雾水、莫名其妙，感觉这门课很难；但在考研备考时经过这样“抓本质联系”的复习后却感觉线代部分反而是考研数学三科中最容易的。 28 每们科目都有其自身的特点，出题老师和我们考生都可以加以利用——出题专家们利用线性代数“知识点间联系复杂”的特点可以编制出灵活的试题，我们则可以根据各知识点之间的联系来进行归纳、对比和总结，从而深化对知识点的掌握程度。 以上所讨论的各种联系可以归纳为下面几条非常重要的定义与性质，其涵盖了大量的题眼，在实际做题时非常好用。其含金量之高不仅在线代中是独一无二的，在高数和概率两门课的知识点中也很少见，希望你能重视： 三个双重定义： 1. 秩的定义 a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数 b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个数 2.线性相关\\无关的定义： a. 对于一组向量a1,a2???an，若存在不全为零的数k1,k2???kn使得 k1a1?k2a2?????knan?0成立，则相量组线性相关，否则向 量组线性无关，即上述等式当且仅当ki全为0时才成立。 b. 向量组a1,a2???an线性相关?向量组中至少存在一个向量可由其余 n-1个向量线性表出；线性无关?向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。 2. 线性方程组的两种形式： a. 矩阵形式： Ax?b ?x2a2?????xnan?b 有：方阵 b. 向量形式：x1a1两条性质： 1.对于方阵 An?n? AA可逆?存在方阵 B使得 AB?BA?E?r(A)解。 对于一般矩阵仅有零解， |A|?0?的行\\列向量组均线性无关 ?n?Ax?b可由克莱姆法则判断有唯一解，而Ax?0仅有零 Am?n则有：r(A)?n?A的列向量组线性无关?Ax?0Ax?b有唯一解。 Ax?0是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线 Ax?b是否有解对应于b是否可以由A的列 3. 齐次线性方程组 性相关，而非齐次线性方程组 向量组线性表出。 以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的 29 桥梁： 行列式 线性相关 线性方程组 性质2 性质1中的“|A|≠0?A 的列向量组线性无关” 性质1中的“r(A)=n?A的列向量组线性无关” 秩 以上这些是大量扩展性定理性质的逻辑基础，也是出题人考虑跨章节出题和考察大跨度知识点时的必经之路——“兵家必争之地”，怎么重视都不为过。 另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获： 1. 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。如果向量组 a1,a2???am可由向量组 ?1,?2????n线性表示，则有 r(a1,a2???am)?r(?1,?2????n)。 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量； 任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。 2. ?1??0??0??0??1??0?常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；??、??、??这样的单 ??0????0????1??关 于 秩 的 一 些 结； 论 ： 位向量组；不同特征值对应的特征向量。 3. r(Am?n)?min{m,n}；； r(A?)?1?r(A)?n?1r(AT)?r(A)?r(ATA)r(AB)?min{r(A),r(B)}；r(A?B)?r(A)?r(B)；若有Am?n、Bn?s满足若组 AB?0，则r(A)?r(B)?n；若A是可逆矩阵则有r(AB)?r(B)；同样 B可逆则有r(AB)?r(A)。非齐次线性方程组Ax?b有唯一解则对应齐次方程 Ax?0仅有零解，若Ax?b有无穷多解则Ax?0有非零解；若Ax?b有 Ax?0有非零解；若A是m?n矩阵而r(A)?m则Ax?bn时是唯一解，当m?n时是无穷多解，而若r(A)?n则 两个不同的解则 一定有解，而且当m?Ax?b没有解或有唯一解。 30