?0??2??0t???02t??用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为
mRl1?F??2?(l1?l2)?15?rad?s?22
60?0.25?0.50?15?2?0.40?(0.50?0.75)?2?177N
2-14解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．
题2-14(a)图 题2-14(b)图 (1) m1,m2和柱体的运动方程如下：
T2?m2g?m2a2 ①
m1g?T1?m1a1 ②
??T1R?T2r?I? ③
式中 T1??T1,T2??T2,a2?r?,a1?R? 而 由上式求得
I?11MR2?mr222
???Rm1?rm2g22I?m1R?m2r0.2?2?0.1?2?9.811?10?0.202??4?0.102?2?0.202?2?0.10222?6.13rad?s?2 (2)由①式
由②式
T2?m2r??m2g?2?0.10?6.13?2?9.8?20.8N T1?m1g?m1R??2?9.8?2?0.2.?6.13?17.1N
2-15 解: (1)由转动定律，有
mg113g?(ml2)???232l ∴
(2)由机械能守恒定律，有
3gsin?l11??mgsin??(ml2)?2l223 ∴
题2-15图
习题三
3-1
答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．
力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零．
3-2答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．
从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点. 3-3 答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 3-4
V???NV?Niii
21?10?4?20?6?30?8?40?2?5021?4?6?8?2?890?21.7 m?s?1 412方均根速率
V??NV?Nii2i
21?102?4?202?6?103?8?402?2?502?21?4?6?8?2?25.6 m?s?1
3-5 解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速
率区间内的分子数占总分子数的百分比.
(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比. (2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)
v?0f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比．
?(6)?(5)3-6
?0v2v1f(v)dv：表示分布在0~?的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.
Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.
题3-6图 3-7
解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为
1 kT．23kT. 2ikT. 2MiRT.
Mmol2(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为
(4)由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为
iRT. 23(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT，或者说热力学体系内，1摩尔分子的
23平均平动动能之总和为RT.
2M3-8 解：由理想气体状态方程pV?RT 得
MmolpV M?Mmol
RT5汞的重度 dHg?1.33?10N?m?3
氦气的压强 P?(0.76?0.60)?dHg 氦气的体积 V?(0.88?0.60)?2.0?10?4m3
M?0.004? ?0.004?(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)R(273?27)(0.76?0.60)?dHg?(0.28?2.0?10?4)8.31?(273?27)?1.91?10?6Kg
3-9
题3-9图
解：(1)从图上可得分布函数表达式
?Nf(v)?av/v0??Nf(v)?a?Nf(v)?0??av/Nv0?f(v)??a/N?0?(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)(0?v?v0)(v0?v?2v0) (v?2v0)f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，
(2)由归一化条件可得
2v0av2N Ndv?Nadv?Na??0v0?v03v01(3)可通过面积计算??N?a(2v0?1.5v0)?N
3(4) N个粒子平均速率
2?v0av2v01?v??vf(v)dv??vNf(v)dv??dv??avdv
00v0N0v01123211v?(av0?av0)?v0
N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率
v0?v?v00.5v0vdN?N1Nv0vdN ?0.5v0N1NNv0Nv0av2vf(v)dv?dv ?N1?0.5v0N1?0.5v0Nv0332av01v0av21av017av0v?dv?(?)? ?0.5v0N1v0N13v024v0N1240.5v0到1v0区间内粒子数
N1?131(a?0.5a)(v0?0.5v0)?av0?N 28427av07vv??0
6N9v3-10解：令u?，则麦克斯韦速率分布函数可表示为
vPdN42?u2?uedu N?因为u?1,?u?0.02
?N42?u2?ue?u 得 由 N??N4??1?e?1?0.02?1.66% N?i3-11解：理想气体分子的能量 E??RT
23?8.31?300?3739.5J 22转动动能 r?2 Er??8.31?300?2493J
25内能i?5 Ei??8.31?300?6232.5 J
23-12解：由气体状态方程p?nkT得
平动动能 t?3 Et?p1.38?10?3n???3.33?1017 m?3 23kT1.38?10?3001由平均自由程公式 ?? 22?dn1???7.5 m ?20172??9?10?3.33?1023-13解：(1)碰撞频率公式z?2?dnv
p对于理想气体有p?nkT，即n?
kT2?d2vp所以有 z?
kTRT8.31?273?455.43 m?s?1 而 v?1.60 v?1.60Mmol28氮气在标准状态下的平均碰撞频率
z?2??10?20?455.43?1.013?1058?1?5.44?10s 01.38?10?273气压下降后的平均碰撞频率
z?2??10?20?455.43?1.33?10?4?0.714s?1?231.38?10?273
3-14 解：由气体状态方程
p1p2? 及 p2V2?p3V3 T1T2方均根速率公式 v?1.732RT Mmolv2初v2末?T1?T2p11? p22对于理想气体，p?nkT，即 n?所以有 ??p kTkT2?d2p
?初T1p2??1 ?末p1T2习题四
4-1
Q?ΔE??pdVQ??E?A解：(1)不正确， (2)不正确，