北京理工大学
2008年自动控制理论考试试题
一：选择填空 （每小题10分，共50分）
1. 离散时间系统的闭环传递函数为T(z)?K(z?2z)z?0.2z?0.522，以下正确的是（）:
(a) 对任意有限的K 值系统都是稳定的。 (b) 当且仅当-0.5 期 T=0.4 秒。部分常用函数的Z-变换见第五题。以下结论正确的是（ ）: 图1 采样控制系统 (a) 对任意的K 值闭环系统都稳定。 (b) 对任意的K 值闭环系统都不稳定。 (c) 存在K0?0,当K?(0,K0)时闭环系统稳定。 (d) 对任意的K>0闭环系统都稳定。 3. 具有非线性特性的单位负反馈系统，其前向通道中线性部分的频率特性曲线 G(j?)和非线性负倒特性?1N(X)如图2。图中箭头指向分别为 X 和ω增加 的方向。下述结论中正确的是( ): (a) M1和M2两点都是系统稳定的自激振荡状态。 (b) BC 段是系统稳定的状态。 (c) X?XM和X?XM是系统稳定的状态。 12(d) 上述说法都不对。 phoenixtree 1 图2 频率特性曲线和非线性负倒特性 4. 若两个系统具有完全相同的根轨迹图，则两系统具有相同的开环传递函数(对，错)和相同的闭环传递函数(对，错)。 5. 开环最小相位系统的对数幅频特性向右移4 倍频程，则闭环系统的调节时间将（增加，不变，减小） ，超调量将（增加，不变，减小） ，稳态误差（增加，不变，减小） ，抗高频噪声干扰的能力将（增强，不变，减弱） 。 二、根轨迹方法 （20分） 单位反馈系统如图3，其中G(s)?1(s?1)(s?as?b)2，a?0，b?0为待定参数。 为简便起见，图中用R 表示r(t)的Laplace 变换R(s)。其余的符号亦采用这种简便记法。已知K 为某一正数时，闭环系统的极点为-1，-1，-1。 （i） （ii） 确定参数a 和b 并由此确定G(s)的另外两个极点。 确定根轨迹的分离点和汇合点、根轨迹的渐近线以及根轨迹与虚轴的交点并画出根轨迹图。 （iii） 确定使闭环系统稳定的K 值。 图3 单位负反馈 三、状态空间法 (20分) 考虑系统 ?(t)?Ax(t)?bu(t)?x?T?y(t)?cx(t)?du(t) phoenixtree 2 （1）其中， ???A?0???1?2?4???0????0 , b?0 , cT?[1????0???1??Y(s)U(s)?11] , d?0 (i) 求系统的传递函数G(s)?，判断系统的稳定性。 (ii) 判断系统的状态可控性和可观测性。 (iii) 能否通过状态反馈u(t)?kTx将闭环极点配置在-2，-3 和-4？ 若能，求出kT；若不能，请说明理由。 四、频率法 （20分） 考虑图 3 所示的控制系统，其中G(s)?定参数。已知G(j2)??0.05。 (i) 确定参数α和β并做出G(s)的Nyquist 曲线。 (ii) 用Nyquist 判据确定时闭环系统稳定的K 值范围。 a(s?1)(as??s?1)2，??0，??0为待 五、采样控制系统 （15分） 考虑图1 所示的采样控制系统，其中G0(s)?Ks(s?a)1?es?Ts为零阶保持器， Gp(s)?，输入信号r(t)为单位阶跃函数，T,K,?正的常数。 （i）写出上述系统的闭环脉冲传递函数。 （ii）设T?1s，K?1,??1，计算采样输出c(0),c(1),c(2),c(3)。 已知：Z????s??1?zTz?1??1?,Z?,Z??????aT22z?1?s?a?z?e?s?(z?1)z 六、Lyapunov稳定性 （15分） 设非线性系统的数学描述如下： 2?1??19.2?x13?7.5?x12x2x?x23?2??0.64x1?4.8?x12x2?1.875?x2x 其中?为常数。 phoenixtree 3 （i）写出系统的状态方程x??f(x)，证明系统有唯一的平衡状态 xe?[xe,1xe,2]?0 x2]Q[x1x]，研究系统平衡态2TT（ii）取候选Lyapunov 函数V(x1,x2)?[x1[xe,1Txe,2]的稳定性及其与β的关系，其中Q可选为正定对角矩阵。 七、描述函数分析方法 （20分） 单位负反馈系统的前向通道为如图 4 所示的 Hammerstein 模型，其中线性环节的传递函数为G(s)?20s(0.1s?1) ，非线性环节为有滞环的继电非线性。已知滞环 继电非线性环节的描述函数为 N(X)?4M4hM?h?1???j?2?X?X?2?X 其中M?1。确定继电器参数h，使得自激振荡频率??20rad/s ，自激振荡幅值X?0.7。 图四Hammerstein 模型 2008 答案解析 一：1：a 2: c 3:c 4:对 错 5:减小 不变 减小 减弱 1 ：系统闭环特征方程为：z2?0.2z?0.5?0 二阶离散系统可以有两种方法判断稳定性：①直接求特征根，看是否在单位圆内；②利用双线性变换，再利用劳斯判据。 ① 解得z??1?j510，可见其根位于单位圆内部，所以系统稳定。 注：本题给出的是闭环传递函数，系统的稳定性只跟特征方程有关系，与闭环放大倍数无关，就可以直接作出判断了。 2：当T=0.4时，系统开环传递函数 phoenixtree 4 G(z)?Z[1?es?sT?Ks(0.2s?1)]?K[0.227z?0.119](z?1)(z?0.135) 特征方程为D(z)?z2?(0.227K?1.135.z)?0.119K?0.135?0 对上式进行双线性变换在进行劳斯判据。 令z?w?1w?1，可得w域的特征方程 要使系统稳定，则 0.346K?0???1.73?0.238K?0 ?2.27?0.108K?0?解得 0 即 存在K0>0，使得当K?(0,K0)时，系统稳定。 3 本题考查描述函数法稳定性的判定，及自激振荡点的判断。 判据：曲线没有被G(jw)所包围，则闭环系统是稳定的； 曲线被G(jw)所包围，则闭环系统是不稳定的； 曲线与G(jw)曲线相交，系统可能产生自激振荡。 自激振荡点的判据：1）稳定区→不稳定区：系统稳定； 2）不稳定区→稳定区：系统不稳定。 4 根轨迹是描述特征根的轨迹，根轨迹相同只能说明特征方程相同，即系统的闭环传递函数的极点相同。零点不同则会对应不同的传递函数。 5 考查开环对数频率特性的“三频段理论” 低频段：决定系统的稳态误差，低频段越高越陡则稳态误差越小； 中频段：决定系统的动态性能，中频段越宽，快速性越好； 高频段：统抗高频干扰的能力，高频段越低、越陡，抗高频干扰能力越强。 二：解： （i）由题意得，系统的闭环特征方程为 (s?1)(s?as?b)?K?02 整理得 s3?(a?1)s2?(b?a)s?K?b?0 由已知，系统的闭环极点为-1，-1，-1，得 特征方程为(s?1)3?0 即 s3?3s2?3s?1?0 根据对应项系数相等得 a=4，b=7 phoenixtree 5