所以 G(s)??2?1(s?1)(s?4s?7)3j。
2?1(s?1)(s?2?3j)(s?2?3j)，另外两个极点为
3j,?2?（ii）根轨迹绘制步骤：
1）开环极点p1?1,p2??2?3j,p3??2?3j，n=3，m=0，则系统有三条
根轨迹；
2）实轴上根轨迹(??,1)；
3）渐近线：有n-m=3条渐近线，与实轴夹角
；
4）分离点汇合点：由5）与虚轴焦点：
可有两种方法判定：（一）劳斯判据
（二）将s?jw带入到特征方程中，根据对应项系数相等。
解得K?16,w??3 ,即 当K+16时，根轨迹与虚轴相交，交点为w??3。根轨迹如下图所示： （iii）由根轨迹图可知，使闭环系统稳定的K值范围为：
0 可得，分离点d=-1； ，于实轴交点 闭环传递函数G(s)?cT[sI?A]?1b?d , 所以 1(s?2)(s?1)2G(s)?[1?1?s(s?2)?1]0???(s?2)2(s?2)(s?1)2?(4s?6)?(s?2)??0?1???00????s?12(s?2)????1?? 由传递函数可以看出。系统的闭环特征根有负实部，所以系统是稳定的。 phoenixtree 6 （ii）C?rank[bAb?0?2Ab]?rank0???1?1002??0?2?3， ??1??所以系统不完全可控； ?c??1???V?rankcA?rank?1???2???cA???1?1?4101???1?2?3 ?1??所以系统不完全可观测。 （iii）由?I?A?0可得，系统的闭环特征根?1??2,?2??3??1 可根据[?i?AB]的秩来判断各个特征值的可控性，也可以跟据可控标准型来判断。最后求的?1??2是不可控的，而要求配置的极点中恰好包含不可控极点-2，所以尽管系统不完全可控，仍可以通过状态反馈进行极点配置在-2，-3，-4。 设反馈矩阵K?[k1k2k3]，则 期望得到的特征多项式为令 ，根据对应项系数相等可得 即 当K?[0k 5]，k取任意值时，通过状态反馈可将极点配置在-2，-3，-4。 四：解： （i）由题意得， 将G(jw)??0.05代入上式整理得，G(j2)?a[1?4a?4??j2(1?4a??)]?5[(1?4a)?4?]22??0.05 phoenixtree 7 根据对应项系数相等，得 解得 ??0.12?5,?则 G(s)?1(jw?1)[(jw)?4jw?8]182 0. 221(s?1)(s?4s?8)2G(jw)??8?3w?jw(4?w)?(w?1)(64?w)24 当w?0?时，G(jw)??，?G(jw)??1800 当w???时，G(jw)?0，?G(jw)??2700 令ImG(jw)?0得，与实轴交点时w?0或w?2，交点坐标(?,0),(?0.05,0)。 81奈氏图如下： （ii）开环传递函数 由（i）可知，G0(jw)的奈氏曲线与负实轴的交点为(?所示 K8,0),(?0.05K,0)，如下图 由奈氏判据可知，系统有1个右半平面的开环极点，要使系统稳定，则曲线 phoenixtree 8 应逆时针包围(?1， j0)一圈。此时应满足?K??1??0.05K ，即K的取值范围 81是：8?K?20。 注：本题需要注意的是，非最小相位系统奈氏曲线的画法及奈氏判据的应用，尤其是非最小相位环节的角度变化。 五：解： （i）系统的开环脉冲传递函数为 G(z)?(1?z)Z[?1Gp(s)s]?K(aT?e?aT?1)z?1?e?aT?aTe?aT?2(z?1)(z?e?aT) 所以闭环脉冲传递函数为 K?(z)?G(z)1?G(z)?z?[2?KTa?(K2[(aT?e?1)e?aT?aT?1)z?1?e?1]z?K?aT?aTe?aT?aT]?2?K。 (1?e?aTe?aT?2?2)?e?aT（ii）当T=1，K=1，a=1时，系统输出 C(z)?R(z)?(z)?0.368z?0.264zz?2z?1.632z?0.632322 ?0.368z?1?z?2?1.399z?3?? 所以，采样时刻的输出为： 六：解： （i）系统的状态方程为 2?1??19.2?x13?7.5?x12x2?x?x2 ?23?2??0.64x1?4.8?x1x2?1.875?x2?x?1?0，x?2?0得，x1?0，x2?0 令x即 系统有唯一的平衡点（0，0）。 （ii）取Q????16??25?，(这里之所以设16和25，是因为只有)得 T22V(x1,x2)?[x1,x2]Q[x1,x2]?16x1?25x2 4,x)?则 V?(x12?32xx?115?0xx???22(614x.?41493x?.752221x 4x280) phoenixtree 9 所以，当??0时，V?(x1,x2)?0，系统的平衡态不稳定； 当??0时，V?(x1,x2)?0，系统的平衡态稳定。 七：解： 由已知得， 绘制非线性部分的辅导特性曲线和线性部分的奈氏曲线，如下图所示： 由图可知，负倒特性曲线与G(jω)曲线有交点。所以存在自持振荡，并且是稳定的自 持振荡。（由不稳定区→ 稳定区）。 令 根据对应项系数相等得，h?80?w(1?0.01w)2?(1),h?Xw22?(2) ?1100当w?20，X?0.7时，由（1）得h?0.225 所以X的范围为：0 注：熟悉掌握几种常用非线性部分辅导特性曲线的画法，以及自激振荡点的判定及求取。 phoenixtree 10