北京理工大学
2007年自动控制理论考试试题
一、选择填空 （每小题10分，共60分）
1 . 采样系统的特征方程为D?z??z2??2K?1.75?z?2.5?0，使系统稳定的K值是（ ）
（a）K?2.63 （b）0?K?2.63 （c）所有K?0 （d）不存在这样的K值。 2 .采样系统的输出y?kT?的z?变换为Y?z??刻的输出为（ ）
（a）y?0??0,y?T??27,y?2T??47,y?3T??60.05 （b）y?0??1,y?T??27,y?2T??674.4,y?3T??16845.8 （c）y?0??1,y?T??27,y?2T??647,y?3T??660.05 （d）y?0??1,y?T??647,y?2T??47,y?3T??27 3 . s-域的传递函数为G?s??10s?s?2??s?6?z?2z?2z?25z?0.6z3232，则前四个采样时
，T为采样周期。经采样后z-域的脉
??z?是（ ） 冲传递函数G??z??（a）G??z??（b）G??z??（c）G??z??（d）G55zz6z?16z?15z6z?11z6z?1????5zz?6T4z?ez?e5zzz?e?55zz?T12z?e?T
?6T?4z?e?2T12z?e5z??6T12z?e5z?6T
?2T?6z?e
?t44 . 线性系统的单位斜坡响应为y?t??t?4?4e_______，该系统的传递函数为_______。
，则该系统的单位阶跃响应为
5 . 最小相位系统的开环对数幅频特性如图1，则该系统的速度误差系数Kv=-
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_______，加速度误差系数Ka=_______。
图1：折线对数幅频特性
6 . 非线性系统的一个平衡态xe位于不稳定的极限环内，该极限环内没有其它极限环。下述说法正确的是（ ）。 （a）xe是不稳定平衡态。
（b）xe是稳定平衡态，以极限环内的点为初始状态的运动轨迹都趋于xe。 （c）xe是稳定平衡态，以极限环外的点为初始状态的运动轨迹都趋于xe。 （d）上述说法都不对，根本无法判定xe是否稳定。
二、根轨迹方法 （20分）
单位反馈系统如图2，其中G?s??s?bs?s?a?为简便起见，，a?0，b?0为待定参数。
图中用R表示r(t)的Laplace变换R(s)。其余的符号和均采用这种简便记法。 （1）设Gc?s??K?0,已知根轨迹的分离点和汇合点分别是1和-3。确定参数a
和b并画出根轨迹图；
（2）确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统稳定的K值。
（3）说明在稳定的前提下该反馈系统和标准二阶系统的阶跃响应在快速性和超
调量两方面有何不同。
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图2：单位反馈系统
三、状态空间方法 （20分）
。??考虑系统 ?x?t??Ax?t??bu?t?
T??y?t??cx?t??du?t?其中A?R3?3,b,c?R3,d?R
（ⅰ）设u?t??0，已知：若x1?0???100?T,则x1?t???e?t若x2?0???110?,则x2?t??eTT00；
?T??tett0?tT；
etT若x3?0???111?,则x3?t??e??te?teAt?，且
x2?0?x3?0??
?x1?t?x2?t?x3?t???e?x1?0?确定状态转移矩阵eAt和系统矩阵A。
??10（ⅱ）设 A?????000??b1????T1，b?b2，c??c1?????2???b3???20c2c3?
?1??2，确定?A，b?的可控性和b1，b2，b3的关系，以及?A，cT?的可观测
性和c1c2c3的关系。
四、频率法 （20分）
考虑图2所示的控制系统，其中G?s??1s?s?a?,a?0。
（1）用Nyquist稳定判据证明闭环系统对任何比例控制器Gc?s??Kc都不稳定。 （2）设Gc?s??Kc?1??s?为PD控制器。用Nyquist判据确定使闭环系统稳定的
Kc和?的值。
五、离散控制系统 （20分）
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离散系统的状态空间表达式为
?x?k?1??Ax?k??bu?k? ?Ty?k??cx?k???00 其中 A??????0.510?2.250??1，b??0??3??01?，cTT???0.2501?
（ⅰ）判断系统的稳定性。
（ⅱ）令u?k??r?k??fTx?k?，求状态反馈阵f使闭环系统的极点为-0.5，0.5，0。
六、Lyapunov稳定性 （10分）
设非线性系统的数学描述为 ： y?y?sin?y?0 （ⅰ）写出系统的状态方程； （ⅱ）求系统的所有平衡点；
（ⅲ）判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。
。。。
2007年 答案解析
一、1．d 2. b 3. c
4 解：单位阶跃输入r(t)=1是单位斜坡输入r(t)=t的导数，
则单位阶跃响应是单位斜坡响应的导数，即单位阶跃响应为
h?t??y??t??1?e?t4
对其做拉氏变换得，H?s??1s?1s?14?1s?4s?1?传递函数为 G?s??H?s?R?s??14s?1
K?s?1?s25 解：由图可得，开环传递函数 G?s????1时，L????20lgK?L?1??20?0.02s?1?
??K?10 ?则 G?s??10?s?1?s2?0.02s?1?
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速度误差系数 Kv?limsG?s???
s?0加速度误差系数 Ka?lims2G?s??10
s?0二、解：（1）系统的开环传递函数G0?s??
K?s?b?s?s?a?1d?
1d?a1d?b 根据分离点、汇合点的计算公式
?
依题意，得分离点d1?1，汇合点d2??3，代入上式 得 a=3，b=1 则开环传递函数 G0?s??绘制根轨迹的步骤如下:
①开环极点p1?0，p2?3 数目 n=2；开环零点z??1，数目m=1 系统有两条根轨迹。
②实轴上根轨迹段为???，?1?，?0，3?； ③渐近线与实轴夹角为?a???； ④分离点d1?1，汇合点d2??3
由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示：
K?s?1?s?s?3?
（2）根轨迹与虚轴的交点
由1?G0?s??0，得特征方程为
s??K?3?s?K?0
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