?1? 由T??0?1??11?2?0??2?2?，A?1?2??2??0?02?1?001?a0???1???J??0?a1，计算得A????a2???00e?2t0?200??1 ??2????1（ⅱ） J??0???0?20?e?1t0???Jt1?e??0??0?2???00??t?te2??te2??
?01 A?????00010??0??0相当于（ⅰ）中的A?1????1???0001?a0???a1 有a0?a1?0??a2???1101??0 ?0??a2?1
则f?s??s3?s2?s2?s?1?,即?1??1?1??2?0，此时T?0???1?1 A可通过非奇异阵T化为约当阵，即TAT?1??1Jt?TeT?0???1?1101??0?0???1?J。 所以
1??10??0?t1???t?t?0?e?t?11?e??0??0??te??eAt?e?t??0?0?0100??1??t?0??1???1?110
（ⅲ） rankUc?rankB?AB?1?2AB?rank1???0011?0??0?2?3， ?0??所以系统不完全可控；
?C??0????rankCA?rank0???2???CA???101?11???1?3 ?1??rankVo所以系统完全可观测；
确定不可控模态是在A为J的情况下，看B中的某一行是否为零。
??1?此题中A化为J??0??00000??1???TB??01时，B???0???1?1100??1??0??????01?1 ?????0????0????1??可见，?1??1所对应的模态为不可控模态，即e?t。
（ⅳ）x?t??ex?0???eAt0tA?t???Bu???d??ex?0??AtT?e0tAtBu?t???d?
xT?0?x?t??x?0?eTAtx?0??x?0??t0eBu?t???d?
At phoenixtree
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??110???11?t1??t?t??e?t?11?e?t0??1????0?1??1????te????1??10???11???t10??t?t??e?t?11?et0??1????01u?t???d?????te????0???3e??1?1???t?11?t?1?u?t???d???0??t???3e?t??u?t?,t?0都有xT?0?x?t??3e?t。
0?10000000??0?，B至少要有2个线性无关的列1??0???1?0???（ⅴ）①将A化为约当阵为A?0??0向量。原因：
若要通过状态反馈u?t??Kx?t?配置系统的极点，即保证系统完全可控。
?,B??A对应的约当阵中出现了两个约当块对应同一特征值-1，若要保证??A?中相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线?中对应A状态完全可控，B?的第一行、第二行必须是线性无关的。 性无关的，即B?中至少要有2?B个线性无关的列向量。
?B中至少要有2个线性无关的由于非奇异线性变换不改变系统的可控性，
列向量，即至少需要2个独立的控制变量。 ②至少需要1个独立的控制变量。原因：
由于特征值-1具有负实部，可以使系统渐近稳定。所以配置极点时只需配置特征值0对应的约当块。特征值-1对应的约当块即使不可控，也不影响系统的渐近稳定性。只配置可控部分即可，?至少需要1个独立的控制变量。 三、解：（1）由图可知，G1?s??1s?s?1? G2?s??1s Gc?s??2s?10.2s?1 又
?H?s??1 ，所以开环传递函数 G0?s??Gc?s?G1?s?G2?s?H?s?
?2s?1s2?s?1??0.2s?1?27
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（2）首先求出G0?j??得
G0?j?????2j??1??22?j?2?1??0.2j??1?21?2.2???1??2??1?0.04???0.4??0.82
2??1??2??1?0.04??j1）与负实轴的交点：
由ImG0?j???0????2，此时 ReG0?j????0.83 即与负实轴的交点是（-0.83，0）； 2）??0?时，G0?j??????180?； 3）????时，G0?j???0??270?； Nyquist曲线G0?j??如下：
（3） 1）由Nyquist曲线确定使闭环系统稳定的K值；如图所示：
当-0.83K>-1时，即K<1.2时，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，即N=0，
由于P=0，?Z=0， 所以闭环系统稳定。
使系统稳定的K值范围是：
0?K?1.2
2）用根轨迹方法验证：
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KG?s??0K?2s?1?s2?s?1??0.2s?1???s?0.5? ?K*2s?s?1??s?5?K*?10K?
绘制根轨迹步骤如下：
①开环极点p1?p2?0p3??1，p4??5 数目 n=4; 开环零点z??0.5，数目m=1。系统有4条根轨迹。 ②实轴上根轨迹段为???，?5?，??1，?0.5?； ③渐近线与实轴夹角为?a??渐近线与实轴交点为?a?3?，??；
??1.83?1?5?0.53；
④与虚轴的交点： D?s??s4?6s3?5s2?K*s?0.5K*
sssss431630?K*5K*0.5K*216**K12?K0.5K*
??030?K*0.5K**?K?12时， 3s?6?0得对应的???2
2与虚轴的交点是?2
根据以上参数地根轨迹图如下：
由根轨迹图可知，当0?K*?12，即0?K?1.2时，闭环系统稳定。 可见，与由Nyquist曲线得到的结论是一致的。 （4）K=1时，闭环系统是稳定的，讨论稳态误差是有意义的。
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Kv?limsG0?s??? K??lims2G0?s??1
s?0s?0 所以稳态速度误差 essv?1Kv1K??0
稳态加速度误差 ess???1
K=2时，闭环系统不稳定，此时讨论稳态误差是无意义的。 四、解：（1）将原结构图化简可得到图a
图a 等效结构图
N?X??4?X?1?1???X??5?s?1?s22?j4?X2
5?j??1???2 Gc?s??5G? 频率特性5Gj?????5?2?5?j
负倒特性曲线和Gc?j??曲线如图b所示：
由图可知，负倒特性曲线与Gc?j??曲线有交点。所以存在自激振荡，并且是稳定的自激振荡。（由不稳定区?稳定区）
图b系统?1N?X?曲线和G?j??曲线
（2）由?1N?X??Gc?j??，得 ?5?2?5?j???4X2?1??4j
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