s21k?3KK劳斯阵： s1s0
要与虚轴有交点，则有一行全零，即k?3?0?K?3 辅助方程：s2?3?0?s1,2??3j
综上，与虚轴的交点是?3j，使闭环系统稳定的K值范围应是K>3。
（3）在稳定的前提下，该反馈系统和标准二阶系统相比，系统的阶跃响应更快，而超调量增加。
三、解：（ⅰ）由题意，得
eAt??x1?t?x2?t?x3?t???x1?0?x2?0?x3?0???1
?e?t???0?0??e???0?0?。?te?tte00et??1?tt?e?te??0?t??0e??e0?t?te?te???t1101??1?1???1
0 系统矩阵A???t?t?0??e?t???0?0?0et0?tt?e?te?t?e?0t?0??1??0???00100??1 ?1??（ⅱ）由于A为约当阵，且不同特征值对应不同的约当块。
所以要使?A，b?可控，需满足b1?0，b3?0； 要使?A，cT?可观测，需满足c1?0，c2?0； 四、解：（1）当Gc?s??Kc时，开环传递函数
G0?s??Kcs?s?a?，
为非最小相位系统（不能按原来的规
则画Nyquist曲线）。
首
先
求
出
G0?j??得
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G0?j?????Kc?Kc??jaK????a22?cc??a22?jaK2
2????a?Kca21）可看出与负实轴无交点； 2）??0?时，G0?j?????j?；
3）????时，G0?j???0??180?； Nyquist曲线G0?j??如右：
从图中可看出，N=0，又已知P=1，所以Z=1，即系统有右半平面的根，
所以闭环系统对任何比例控制器Gc?s??Kc都不稳定。
（2）当Gc?s??Kc?1??s?时，开环传递函数
G0?s??Kc?1??s?s?s?a?
求
出
G0?j??2首
G0?j?????先得
Kc???1?a???ja????????a22??2??
Kc?1?a????a22?jKca???????a2?2??1）与负实轴的交点：令ImG0?j???0，得?? 相应地 ReG0?j????2）??0?时，G0?j????aKc?aa?
Kc?1?a?2??j?；
3）????时，G0?j???0??90?； Nyquist曲线G0?j??如右：
从图中可看出，当?Kc?a??1时，N=1，又已知
P=1，所以Z=0，即系统
无右半平面的根，闭环系统稳定。
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即Kc和?的值应满足 Kc??a
五、解：（ⅰ）由题意知，系统为可控标准型。特征多项式为
f??????3??2.25??0.532
可以求得，特征值幅值均小于1，所以系统稳定。
（ⅱ）由于系统可控，所以可通过状态反馈任意配置系统的极点。
设状态反馈矩阵f??f1fT2f3?
?010??0?A?bfT???001?????0???f1f2f3?
???0.5?2.25?3????1???010????001?? ???0.5?f1?2.25?f2?3?f3??sI??A?bfT??s3??3?f23?s??2.25?f2?s??0.5?f1?
希望的特征多项式为?s?0.5??s?0.5?s?s3?0.25s
令sI??A?bfT?= ?s?0.5??s?0.5?s，可得
?3?f3?0?f1?0.5??2.25?f?2??0.25??f2?2.5 ??0.5?f?1?0?f3?3即将极点配置在-0.5，0.5，0的状态反馈矩阵为f??0.52.5。。。。六、解：（ⅰ）y?y?sin?y?0 令x1?yx2?y，则
?。状态方程为： ??x1?x2。
??x2??x2?sin?x1?。（ⅱ）由?x?x1?0?2?0。，得 ??x1?k?k?0,?1,?2,??????x2?0??x2?sin?x1?0?x
2?0 所以系统所有的平衡点为?k，0?T。其中k?0,?1,?2,?
（ⅲ）①在平衡点xTe??k，0?，k?0,?2,?4,?处：
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3?T。
。?y?x?k?y1?y2?1 做偏差置换，令?1 ??。?y2?x2??y2??y2?sin??y1?k? 将其线性化，得
??f1??yA??1??f2???y1?f1??y2???f2??y2??1??0???????cos?y?k?11??y1?0y2?0y1?0y2?0?0?????cos?k1??0????1????1?? ?1?
?I?A?0??1??1?j4??12，?2??1?j4??12T
两个特征值均具有负的实部，?平衡点xe??k，0?，k?0,?2,?4,?处是渐近稳定的。
②在平衡态xe??k，0?，k?0,?1,?3,?处：
T。?y?x?k?1y1?y2?1??。 做偏差置换，令?
y?x22???y2??y2?sin??y1?k?将其线性化，得
??f1??yA??1??f2???y1?f1??y2???f2??y2??1??0??????cos??y1?k??1?y1?0y2?0y1?0y2?0?0?????cos?k1??0????1???1?? ?1?
?I?A?0??1??1?4??12，?2??1?4??12
T有一个特征值具有正的实部，?平衡点xe??k，0?，k?0,?1,?3,?处是不稳定的。
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北京理工大学
2006年自动控制理论考试试题
一、根轨迹方法 （25分）
单位反馈系统如图1，其中G?s??1s?s?2?。为简便起见，图中用R表示r(t)的
Laplace变换R(s)。其余的符号和以后的图均采用这种简便记法。 （1）设Gc?s??K,画出根轨迹图；
（2）确定K的值，使闭环系统单位阶跃响应的最大超调量为Mp?e??。计算相
应的上升时间tr； （3）设计控制器Gc?s??tr?3?8Kc??Ts?1??Ts?1使最大超调量Mp保持不变，上升时间为
，并使闭环系统尽可能地简单。
图1：单位反馈系统
二、状态空间方法 （30分）
。??考虑系统 ?x?Ax?Bu （1）
??y?Cx?Du?0?先设 A??1??0001?a0???a1 ??a2??2（ⅰ）证明：若f?s??s3?a2s2?a1s?a0??s??1??s??2?,其中?1??2，则可通过
??Tx，将状态空间表达式（1）变为 状态空间中的线性变换x。??x? ????y??x?u??BA （2）
???DuCx phoenixtree
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