注记1：显然，A?B?AB.
(5) 若A?B??，则称A与B是互斥事件. 注记：B为A的对立事件?A与B互斥，反之不然. (6) 样本空间的划分
记S为样本空间.若事件组?Ai?①
ni?1满足：
?A?S；
ii?1n② Ai?Aj??. 则称事件组?Ai?ni?1为S的一个划分.
5.事件运算的规律
假设S为样本空间. (1) ??A?S
(2) A?B?A?A?B (3) A?B?A
(4) A?A?S,A?A?? (5) A?B?C?A??B?C? (6) A?B?B?A
(7) A?B?C?A??B?C? (8) A??B?C???A?B???A?C? (9) A??B?C???A?B???A?C? (10) A?B?A?B (11) A?B?A?B
注记2：运算律(5)-(11)很容易推广到任意多个的情形.
6.概率的定义
S是它的样本空间.对于E的每一个事件A赋予一个实数， 设E是随机试验，记为P(A)，
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称为事件A的概率，如果集合函数P(.)满足下列条件： ① 非负性：对每一个事件A，有P(A)?0； ② 规范性：对于必然事件S，有P(S)?1；
③ 可列可加性：设?Ai?i?1是两两互不相容事件，即Ai?Aj??，i?j，则
????????P??Ai???P?Ai?. ?i?1?i?17.概率的运算性质
(1) 0?P(A)?1 (2) P(S)?1,P(?)?0
注记：A???P(A)?0,P(A)?0?A?? (3) P(A?B)?P(A)?P(AB)
(4) P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B) (5)
P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A?B)?P(A?C)?P(B?C)?P(A?B?C)
(6) A?B?P(A)?P(B)
8．等可能概型(古典概型)
(1) 定义
如果试验E满足如下两个条件： ① 试验的样本空间只有有限个元素；
② 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
则称这种试验为等可能概型.由于这种概型在概率论早期研究比较多，所以又称为古典概型. (2) 等可能概型的概率公式
设S为样本空间，A为事件.则P(A)?k.其中，k为A所包含的基本事件总数.n为S所n包含的基本事件总数.
例1.某口袋中有10个球，6白4红，除了颜色之外，没有其它的区别.
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① 若有放回地取出3个.记A1?无红球，A2?恰有2个红球，
????A3??至少一个白球?.求P(A1)，P(A2)，P(A3).
② 若不放回地取出3个.记A1?无红球，A2?恰有2个红球，
????A3??至少一个白球?.求P(A1)，P(A2)，P(A3).
9.几何概型
(1) 定义
满足试验E满足如下两个条件： ① 试验结果有无穷多个. ② 发生的结果是等可能的. 则称E为几何概型.
(2) 几何概型的概率公式
设S为样本空间，A为事件.则P(A)?L(A)，L(.)是集合的测度.(比如说线段，测度就L(S)是线段长度.平面区域，就是区域面积.空间体，就是空间的体积.)
例2.两人相约于7：00-8：00，先到的人等足20分钟就离开，求两人会面的概率.
例3.在?0,1?中任取两个数，求两数之和小于1.2的概率.
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例4.设D???x,y?0?x?1,0?y?1?，在D中选一点?x,y?，以x，y作为直角三角形
1的概率. 4的直角边.求三角形面积大于
例5.在以?0,0?，?0,1?，?1,0?，?1,1?为顶点的正方形中随机投10个点，则10个点中至少有一个在y?x2和y?x围成的区域D内的概率.
10.条件概率
(1) 定义
设A,B是两个事件，且P(A)?0，称P(BA)?P(AB)为在事件A发生的条件下事件P(A)B发生的概率.
(2) 条件概率的计算 ① 缩减样本空间 ② 利用公式
(3) 条件概率的运算性质 ① P(BA)?P(BA)?1
② 乘法公式 P(AB)?P(BA)P(?A)P(A)B (P)B11.事件的独立性
(1) 两事件相互独立的定义
若事件A，B满足：P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A与B是相互独立的. (2) 三事件相互独立
若事件A，B，C满足：
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P(AB)?P(A)P(B)， P(AC)?P(A)P(C) P(BC)?P(B)P(C), P(ABC)?P(A)P(B)P(C)
则称事件A，B，C相互独立. (3) 任意多个事件相互独立的定义
设有事件组?Ai?i?1，若其中任意2个，3个，4个，……，n个不同事件的概率为各事件的概率之积，则称事件组?Ai?i?1相互独立. (4) 事件组相互独立的性质
① 若事件组?Ai?i?1相互独立，则其任意多个不同事件相互独立.
② 若事件组?Ai?i?1相互独立，将其中任意多个事件换成对立事件，则所得n个事件仍然相互独立. 例6.已知P(A)?
例7.P(A)?0.4，P(A?B)?0.7，若A，B互不相容，则P(B)?___________， 若A,B独立，P(B)?_____________________
例8.P(A)?P(B)?P(C)?不发生的概率.
nnnn41，P(AB)?，求P(A?B). 5511，P(AB)?0，P(AC)?P(BC)?，求A，B，C全416 10